导数在高考解题中的应用.pdf

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1、热点聚焦2013-10导数在高考解题中的应用文/杨贵诚摘要：导数是高考数学必考的内容，近年来高考加大了对以导数为载体的知识问题的考查，题型在难度、深度和广度上不断地加大、加深，从而使得导数相关知识愈发显得重要。从导数在函数、不等式、数列、解析几何等四个方面来探讨导数的应用。关键词：导数；函数；不等式；数列；解析几何导数是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内二、导数在不等式证明方面的应用容以及解决相关问题的重要工具。导数为解决函数的最值、函数极导数在不等式证明方面的应用关键在于从不等式的结构特征值、单调区间及函数图像等问题提供更有效的途径、更易行的方法中，联想出与不等式对应

2、的函数，然后构造函数，最后将不等式的和更简便的手段。证明转化为函数问题。再接着求出函数的单调区间进而得到满一、导数在函数中的应用足不等式的自变量的取值范围或利用函数的单调性得到所证明1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用的不等式。利用导数来求函数的最值的一般步骤是：（1）先根据求导公式（2011年·陕西高考·T21）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f（′x）。（1）求对函数求出函数的导数；（2）解出令函数的导数等于0的自变量；g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（1）的大小关系；x（3）从导数性质得出函数的单调区间；（4）通过定义域从单调区间1（3）求a的取

3、值范围，使得g（a）-g（x）＜对任意x＞0成立。中求出函数最值。a2．导数在函数极值中的应用x-1解：（1）由题设知g（′x）=，易知（0，1）是g（x）的单调减区x2利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类间，（1，+∞）是g（x）的单调递增区间。因此，x=1是g（x）的唯一极型。利用导数求函数极值的一般步骤是：（1）首先根据求导法则求小值点，从而是最小值点。所以g（x）的最小值为g（1）=1。（2）由题出函数的导数；（2）令函数的导数等于0，从而解出导函数的零点；11x+1（3）从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间；（4）根意得g（x）=-lnx+x

4、，设h（x）=g（x）-g（x）=lnx-x，则h（′x）=据极值点的定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。（x-1）2-，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（′x）＜0。因此，h（x）在（0，+∞）x23.导数在求参数的取值范围时的应用1利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考内单调递减，所以①当x=1时，g（x）=g（）。②当0＜x＜1时，x的热点。在一般函数含参数的题中，通过运用导数来化简函数，可11g（x）＜g（）。③当x＞1时，g（x）＞g（）。（3）由（1）知g（x）的最小值为以更快速地求出参数的取值范围。xx（2011年·江苏高考·Ｔ19）已知a

5、，b是实数，函数f（x）=x3+ax，111，所以g（a）-g（x）＜，对任意x＞0成立圳g（a）-1＜得0＜a＜e。aa（gx）=x2+bx，f（′x）和g（′x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f（′x）g（′x）≥三、导数在数列、解析几何方面的应用0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致。数列是高中数学中一个重要的知识点，也是个难点。利用导数（1）设a＞0，若f（x）和g（x）在区间［-1，+∞）上单调性一致，求实数解决数列问题的关键在于结合数列的结构特征，根据求导公式联b的取值范围；（2）设a＜0且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为想与之

6、相对应的函数再构造函数，然后再通过导数来解决相关的数端点的开区间上单调性一致，求a-b的最大值。列问题。而导数在解析几何方面的应用所利用的知识点是导数的几【思路】本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时何意义，而导数的几何意义是函数y=f（x）在点x0处的导数f（′x0），要注意挖掘已知的信息，注意条件的转化，函数f（x）和g（x）在区就是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程的斜率。下面结合某间［-1，+∞）上单调性一致，可以转化为导数之积恒为正来处理。些高考题介绍导数在解决数列问题的基本方法与思路。解：（1）因为函数f（x）和g（x）在区间［-1，+∞）上单

7、调性一致，（2009年广东·理）已知曲线C：x2-2nx+y2=0（n=1，2，……）。从n2a所以（3x+a）（2x+b）≥0。因此b≥2。（2）令f（′x）=0，解得x=±-，点P（-1，0）向曲线Cn引斜率为k（nkn＞0）的切线ln，切点为P（nxn，姨3yn）。（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；（2）证明：x1·x3·x5……x2n-1＜a易知b≤0。当x∈（-∞，--）时，f（x）和g（x）单调性一致，故姨31-xn＜姨2sinxn。aa11姨1+