浅谈导数的几点应用

《浅谈导数的几点应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、浅谈导数的几点应用导数是解决数学问题的重要工具，很多数学问题如果利用导数探求思路，不仅能迅速找到解题的切入点，而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果。如在求曲线的切线方程、方程的根、处理函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。一、利用导数求曲线的切线方程例1.已知函数f（x）=x3-3x过点a（0，16）作切线，求此切线的方程。解：∵点a（0，16）不在曲线f（x）=x3-3x上∴可设切点为b（x0，y0），则y0=x03-3x，∵f’（x0）=3（x02-1

2、）∴曲线f（x）=x3-3x在点b（x0，y0）处的切线方程为l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又点a（0，16）在l上∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）∴x03=-8，x0-2，切点b（-2，-2）所求切线方程为9x-y+16=0。二、讨论方程的根的情况例２.若a>3，试判断方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的个数。解：设f（x）=x3-ax2+1，则f’（x）=3x2-2ax。当a>3，x∈［0，2］时f’（x）0，f（2）=9-4a1即m>2时，函数f’（x）在（-∞，1）上为增函数

3、，在（1，m-1）内为减函数，在（m-1，+∞）上为增函数。根据题意有：当x∈（1，4）时f’（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范围是［5，7］。五、利用导数求解函数的极值例5.已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值。解：f’（x）=3ax2+2bx-3由题意可知∵在x=±1时f’（x）=0，即3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。∴f（x）=x3-3x，f’（x）=3（x+1）（x-1）。当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）

4、，时f’（x）>0当x∈（-1，1）时，f’（x）0，有不等式x>ln（x+1）成立。设f（x）=x-ln（x+1），（x>0），则有f’（x）=证明：∵x>0，∴f’（x）>0，又f（x）在x=0处连续，f（x）在［0，+∞］上单调递增，∴x>0时，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。八、利用导数求数列的前n项和例8.求数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和。解：设数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和为sn，则sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）’=（）’==（x≠0，1）

5、。即为数列nxn-1（x≠0，1）的前n项和。九、利用导数解决实际应用问题例9.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：（1）f（x）=pqx；f（x）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均为常数，且q＞1）。（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式。（注：函数的定义域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，

6、x=1表示9月1日，……以此类推）