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1、浅谈导数的应用.freelforustoprovidethepoightsolveinthefunctionmostvalueproblemightalsotheanalyticgeometryrelate,mightintheknousthighlightthederivativetheapplication.【Key(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2xex+a(x-1)而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x
2、)≤0∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e
3、x
4、2在a≥1时,恒成立(2)解:ex0-x0-1≤a·x02
5、x
6、2ex0将变形为ax022+x0+1ex0-10③要找一个x00,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值,满足t(x)min0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna在0x-lna时,t′(x)0,在x-lna时,t′
7、(x)0t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-10,在0a1时成立即可又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,对p(a)关于a求导数则p′(a)=12(lna)2≥0,从而p(a)为增函数则p(a)p(1)=0,从而a2(lna)2-alna+a-10得证于是t(x)的最小值t(-lna)0因此可找到一个常数x0=-lna(0a1),使得③式成立最值证明在不等式中的应用,一般转化不等式(转化的思想)
8、构造一个函数,(函数的思想方法)然后求这个函数的极(最)值,应用恒成立关系就可以证明,对于应用导数解决实践问题,关键是建立恰当的数学模型。4求曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率,运用导数的几何意义函数在某点的导数,其几何意义是曲线在该点处切线的斜率,利用导数可以十分便捷地分析处理解析几何中的有关切线问题。例5:已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2-a(a为常数),若直线l与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切,且l与y=f(x)的图象相切于定点P(1,f(1)).(1)求直线l的
9、方程及a的值;(2)当k∈R时,讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的实数解的个数.分析:(1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1∴k1=1,又切点为P(1,f(1)),即(1,0)∴l的解析式为y=x-1,∵l与y=g(x)相切,由y=x-1y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=-12(2)令h(x)=f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12∵h′(x)=2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2,则h′(x)0,
10、h(x)为增函数,-1x0或x1时,h′(x)0,h(x)为减函数。故x=±1时,h(x)取极大值ln2,x=0时,h(x)取极小值12。因此当k∈(ln2,+∞),原方程无解;当k=ln2时,原方程有两解;当12kln2时,原方程有四解;当k=12时,原方程有三解;当k12时,原方程有两解。5利用导数求函数极(最)值解答这类问题的方法是:①根据求导法则对函数求出导数。②令导数等于0,解出导函数的零点。③分区间讨论,得出函数的单调区间。④判断极值点,求出极值。⑤求出区间端点值与极值进行比较,求出最值。例
11、6:设x1、x2是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a0)的两个极值点.(1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式;(2)若
12、x1
13、+
14、x2
15、=22,求f(x)的最大值;分析:(1)∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a0),∴f′(x)=ax3+bx2-a2x(a0)依题意有f′(-1)=0f′(2)=0,∴3a-2b-a2=012a+4b-a2=0解得a=6b=-9,∴f(x)=6x2+9x2-36x.(2)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a0),依题意,x1,x2是方程f′(x
16、)=0的两个根,且
17、x1
18、+
19、x2
20、=22,∴(x1+x2)2-2x1x2+
21、x1+x2
22、=8.∴(-2b3a)2·(-a3)+2
23、-a3
24、=8,∴b2=3a2(6-a).∵b2≥0,∴0a≤6.设p(a)=3a2(6-a),则p′(a)=-9a2+36a.由p′(a)0得0a4,由p′(a)0得a4.即:函数p(a)在区间(0,4上是增函数,在区间4,6上是减函数,∴当a=4时,p(a)有极大值为96,∴p(a)在(0,6上的最大值是96
