浅谈导数的应用

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1、浅谈导数的应用【摘要】导数的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的工具，用导数可以解决函数中的最值问题，不等式问题，还可以解析几何相联系，可以在知识的网络交汇处设计问题。因此，在教学中，要突出导数的应用。【关键词】导数；应用；函数；不等式【Abstract】Thederivativeforustoprovidethepoightsolveinthefunctionmostvalueproblemightalsotheanalyticgeometryrelate,mightintheknousthighlightthederiv

2、ativetheapplication.【Key(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x，求导数得m＇(x)=-xe-2x〔ex+a(x-1)〕而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0，从而m(x)≤0∴m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证由于①②讨论可知，原不等式ex-x-1≤ax2e｜x｜2在a≥1时，恒成立（2）解：ex0-x0-1≤a·x02｜x｜2ex0将变形为ax022+x0+1ex0-10③要找一个x0>0，使③式成立，只需找到函t(x)

3、=ax22+x+1ex-1的最小值，满足t(x)min0即可，对t(x)求导数t＇(x)=x(a-1ex)令t＇(x)=0得ex=1a，则x=-lna，取X0=-lna在0x-lna时，t＇(x)0，在x>-lna时，t＇(x)>0t(x)在x=-lna时，取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1下面只需证明：a2(lna)2-alna+a-10，在0a1时成立即可又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1，对p(a)关于a求导数则p＇(a)=12(lna)2≥0，从而p(a)为增函数则p

4、(a)p(1)=0，从而a2(lna)2-alna+a-10得证于是t(x)的最小值t(-lna)0因此可找到一个常数x0=-lna(0a1)，使得③式成立最值证明在不等式中的应用,一般转化不等式(转化的思想)构造一个函数，（函数的思想方法）然后求这个函数的极（最）值，应用恒成立关系就可以证明，对于应用导数解决实践问题，关键是建立恰当的数学模型。4求曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线的斜率，运用导数的几何意义函数在某点的导数，其几何意义是曲线在该点处切线的斜率，利用导数可以十分便捷地分析处理解析几何中的有关切线问题。例5

5、:已知函数f(x)=lnx，g(x)=12x2-a(a为常数)，若直线l与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切，且l与y=f(x)的图象相切于定点P（1，f（1））.（1）求直线l的方程及a的值；（2）当k∈R时，讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的实数解的个数.分析:（1）∵f＇(x)=，∴f＇(1)=1∴k1=1,又切点为P（1，f（1）)，即（1，0）∴l的解析式为y=x-1，∵l与y=g(x)相切，由y=x-1y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0∴△=（-2）2-4（2a+2）=0，得a=-12

6、（2）令h（x）=f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12∵h＇(x)=2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2，则h＇(x)>0，h(x)为增函数，-1＜x＜0或x＞1时，h＇(x)0，h(x)为减函数。故x=±1时，h（x）取极大值ln2，x=0时，h（x）取极小值12。因此当k∈(ln2，+∞），原方程无解；当k=ln2时，原方程有两解；当12＜k＜ln2时，原方程有四解；当k=12时，原方程有三解；当k＜12时，原方程有两解。5利用导数求函数极（最）值解答这类问题的方法是：①根据求导法则

7、对函数求出导数。②令导数等于0，解出导函数的零点。③分区间讨论，得出函数的单调区间。④判断极值点，求出极值。⑤求出区间端点值与极值进行比较，求出最值。例6：设x1、x2是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点.（1）若x1=-1,x2=2，求函数f(x)的解析式；（2）若｜x1｜+｜x2｜=22，求f(x)的最大值;分析:（1）∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)，∴f＇(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)依题意有f＇(-1)=0f＇(2)=0，∴3a-2b-a2=012a+4b

8、-a2=0解得a=6b=-9，∴f(x)=6x2+9x2-36x.（2）∵f＇(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),依题意，x1,x2是方程f＇(x)=0的两个根，且｜x1｜+｜x2｜=22，∴(x1+x2)2-2x1x2+｜x1+x2｜=8.∴(-2