浅谈导数在函数中的应用

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1、浅谈导数在函数中的应用摘要：导数在函数中应用很广泛，可以判断函数的单调性，函数的极值与极值点，函数在某区间上的最大（小）值，函数的凹凸性及拐点等等.导数是分析解决问题的有效工具。关键词：导数函数的单调性极值与极值点最大（小）值凹凸性及拐点导数（导函数的简称）是近代数学的基础，是数学教学中最重要的基本概念之一。导数是联系初高等数学的纽带。导数的引出及定义始终贯穿着函数思想，它是一个特殊的函数，并且它在函数的应用中起着非常重要的作用。本文拟就导数在函数的应用谈一点个人的想法和体会。导数在函数的应用主要有：判断函数的单调性；求函数的极值与极值

2、点；求函数的最大值与最小值；判断函数的凹凸性以及求函数的拐点。导数是我们学习微积分的基础，它是微积分的核心概念之一，它反映了函数变化的快慢程度，它是一种特殊的极限，导数是求函数单调性、极值与极值点、最大（小）值、凹凸性及拐点等问题的重要工具。5导数（Derivative）是当自变量增量趋于零时函数增量与自变量增量之比值的极限。当一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。函数可导性与函数连续性的概念都描述函数在一点处的状态，导数的大小反映了函数在一点处变化（增大或减小）的快慢。可导的函数一定连续，不连续的函数不一定可导。导数实质上就是

3、一个求极限过程。导数的计算方法也很灵活。[1]一、用导数判断函数的单调性函数的单调性是函数的一个重要特性。如果函数y=f（x）在[a，b]上单调增加，那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线。上面每一点处的切线与x轴正向的夹角都是锐角，此时切线斜率大于零，即y=f′（x）>0；反之则有相反的结论。[2]注：利用导数求函数的单调性的步骤是：（1）确定函数y=f（x）的定义域.（2）求导数f′（x），解出令f′（x）=0的点（驻点）以及导数不存在的点.（3）驻点及导数不存在得的点将函数f（x）的定义域分成若干个小区间，在每个小区间内判断函数导

4、数f′（x）大于零还是小于零，若f′（x）>0，则函数在该区间内为增函数，若f′（x）0；当x>x0时，f′（x）x0时，f′（x）>0，则x0为f（x）的极小值点.如果f′（x）在x0的两侧保持同符号，则x0不是f（x）的极值点。5欲求出函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再利用求极值的充分条件来判断这些点是否为极值点。注：用导数求函数极值的方法和步骤（1）确定函数y=f（x）的定义域（2）求导数f′（x），解出令f′（x）=0的点（驻点）和f′（x）不存在的点。（3）对每个驻点及导数不存在的点进行检验，判断在每个点的左

5、右侧导数f′（x）的符号如何变化；如果f′（x）的符号是左减右加，则该点为极小值，如果f′（x）的符号是左加右减，则该点为极大值，如果驻点两侧f′（x）的符号是一致的，则该点不是极值点。三、用导数求函数的最值由闭区间上连续函数的最大值与最小值定理得知，如果f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必定能取得最大值与最小值。注：求f（x）在[a，b]内最值的方法：（1）求出f′（x）在（a，b）内的所有驻点和导数不存在的点的函数值及f（a）与f（b）。（2）比较上述点的函数值的大小，其中最大的值为f（x）在[a，b]上的最大值，

6、而最小的值，即为f（x）在[a，b]上的最小值。由上述可以看出，最大值和最小值是函数f（x）在区间[a，b]上的整体性质，而极大值和极小值是函数f（x）在某点领域内的局部性质。[3]四、用导数判定函数的凹凸性及拐点51.函数的凹凸性的定义设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导（1）若对于任意的x0∈（a，b），曲线弧y=f（x）过点（x0，f（x0））的切线总位于曲线弧y=f（x）的下方，则称曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凹的。（2）若对于任意的x0∈（a，b），曲线弧y=f（x）过点（x0，f（x0））的切线总位

7、于曲线弧y=f（x）的上方，则称曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凸的。2.曲线凹凸性的判定法：设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，（1）若在（a，b）内f′′（x）>0，则曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凹的。（2）若在（a，b）内f′′（x）<0，则曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凸的。3.曲线的拐点连续曲线弧上凹弧和凸弧的分界点，称为该曲线弧的拐点。注：求连续曲线弧y=f（x）的拐点的一般步骤为：（1）在f（x）所定义的区间内，求出二阶导数f′′（x）等于零的点。（2）求出二阶导数f′′（x）不存在的

8、点，5（3）判定上述点两侧，f′′（x）是否异号。如果异号，则该点为曲线弧的拐点，如果同号，则该点不是该曲线弧的拐点总之，在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，要重视数学思想方法的应用，以达到优化解题