导数在高中数学中的应用.doc

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1、导数在高中数学中的应用自从导数加入中学数学教材，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：1、切线的斜率（导数的几何意义）；2、函数的单调性；3、函数的极值；4、函数的最值。导数一旦与函数、向量、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广阔。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题，在本文中，我将对“导数在高中数学中的应用”作一些初步的探讨。y011x1在代数中的应用1.1对导数几何意义的考查例1（2005年江西卷）已知函数的图象如图1所示（其中是函数的导数），下面4个图象中的图象大致是（）。ABCDyx01221y

2、x01221x01221xy01221y分析：这是考察求导法则，函数图象与轴交点情况和方程实根的关系等基础知识，考察导数的意义。由图象可知，，所以在处有平行与轴的切线，故选C。1.2判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于

3、具体函数更加适用。例2.已知。（1）求的单调增区间；（2）若在定义域R内单调递增，求的取值范围；（3）是否存在使在上单调递减，在上单调递增？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。函数增区间是恒成立的区间，函数的减区间是恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。解：（1）令，得，当时，有在R上恒成立；当时，有。综上情况，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为。（2）在R上单调递增，（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即，恒成立。时，，。（3）由已知在上单调递减，在区

4、间上单调递增可知，是的极值。，存在满足条件。1.3求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。例3．（2005年山东卷）已知函数是函数的一个极值点，其中，。（1）求与的关系表达式；（2）求的单调区间；（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围。分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知

5、识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定与的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论。解：（1）由是的一个极值点，知，即，（2）由（1），得由知，，当变化时，与的变化如下：100递减极小值递增极大值递减由上可知,在区间和上递减,在区间上递增.(3)由已知得,即,即当时,有.①设,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以即解之得,,又,所以.即的取值范围为.1.4证明不等式例4.求证：分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力

6、.先构造函数；再对进行求导，得到；然后观察得到当时，，即在时是增函数；最后可得当时，，即[6].解：令则在上是增函数.当时，即1.5证明组合恒等式例6.求证：分析：先观察等式左边，很容易联想到二项式；然后对二项式进行求导，得到；最后令，就可以得到我们要证的等式.证明：对上面等式两边求导，得令，得原题得证.1.6解决数列中的问题例7.求和分析：当时，是等差数列1，2，的和；当时，可看作的导数，而是等比数列，易知，最后再对求导即可得到[4].解：当时，当时，由，得即1.7讨论方程解的个数例8.，讨论关于的方程的解的个数.分析：这道题是属于超越方程的问题,直接求出有一定的困难,因此

7、可以利用导数的知识，用数形结合的方法来做.先作一条与曲线相切的直线，求出的值；再根据的取值范围，讨论方程的解的个数.解：依题意可知，方程的解的个数就是直线与曲线的交点的个数，设直线与曲线相切于点则由图可知，原方程当或时，有一个解；当时，有两个解；当时，无解.2.解决几何问题2.1解决解析几何中的问题例10.（2004年湖南卷）已知函数。（1）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（2）设函数的图象与函数图象交于，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点M，N，证明在点M处的切线与在点N处的切线不平行。解：（1