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1、导数在高中数学中的应用误区万琨摘要:导数是高中数学新增内容,它是中学数学与高等数学的连接点,所以学好导数有利于高中毕业生进入高等学府后的再教育。但是从每年的高考试题分析来看,相当一部分的学生在有关导数的试题上失分较多，实际上这些试题并不太难.原因在哪里呢？本文试图对近几年出现的一些具体题型加以分析。关键词:导数;误区;极值;最值;单调性1.引言导数的思想最初是由法国著名的数学家费马为研究极值问题提出来的。微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分。一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、
2、经济等领域中也得到越来越广泛的应用。另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的。在上个世纪，导数曾经编入中学数学教材，但是由于教育改革，步入上个世纪九十年代，导数在中学数学教材中又删去了。但是我们知道导数对于考察同学们的数学思维有着其他高中数学内容所无法替代的作用。因此随着时代的发展，随着经建设的日益提高、随着高校对人才的选拔需、随着新课程改革的进一步深入、随着西方的现代教育思想的引如、随着体现教育以人为本的思想、导数又重新选编入中学数学教材。它的选如恰似一股春风吹如人的心田，使人清爽气颐、它的选入犹如犹如长期处于黑暗之中的人
3、见到光明一样，心中充满期待与高兴，它的选入犹如一股新鲜的血液注入人的体内，使人精神焕发，朝气蓬勃。导数是高中数学和高等数学衔接的纽带，它有利于克服中学数学与高等数学脱节的现象，有利于克服中学尖子生进入高校后对数学产生厌恶之感的现象，使进入高校的新生不在对高等数学有畏惧的心理。导数作为新内容引入中学数学教材，使广大师生、教研员、命题爱好者为之精神振奋。尽管它属于高三选修的内容，但因为它对考察学生的数学思维具有积极的推动的作用，因此有关导数的一类新题型深受命题者的青睐。可以这样说要在高考取得优异的成绩，要想脱颖而出，必需学好导数。2.具体的事例导数作为一种工具，在解决某
4、些数学问题时极为方便，尤其是利用导数可以判别函数的单调性，求极值及曲线的切线等等。但是在学习过程中由于对导数概念的理解不清，理解不深刻而导致错误的情形时有发生，学生在做高考试题时，时常出错，理不出头绪。例1.已知函数，其中为常数.(1)若，讨论函数的单调性；(2)若，且，试证:[1]。分析：本题是某省市高考理科试题倒数第3题，难度应该不大。但是从当年批阅得分的情况来看，有相当的一部分学生只能做出第1小题，而对第2小题却束手无策，实际上第2小题仅仅考查的是导数的定义，如能了解.则此题便迎刃而解。对导数概念理解不深入是同学们不能解决此题的关键。例2.设的极小值为，其导函
5、数的图像经过点,如图1所示,(1)求的解析式；(2)若对都有恒成立，求实数的取值。分析：此题得分也不理想.其原因在于同学们误解了导函数的单调性与原函数的单调性的关系。部分考生认为导函数的单调性与原函数的单调性相同。而实际上导函数的单调性与原函数单调性没有必然的联系.我们在判断原函数的单调性的时候，主要看导函数的函数值与0的大小的关系,若导函数的函数值大于0,则原函数为单调递增函数,反之若导函数的函数值小于0,则原函数为单调递减函数。另一方面，对第2小题不会转化为最值问题，也是失分较多的原因。例3．已知函数,(1)设，讨论的单调性；(2)若对任意恒有，求的取值。分析：
6、本题主要考察导数在单调性与极值方面的应用.从全国考试中心反馈的情况来看，此题得分并不理想。第1小题判别函数的单调性，明显应该用导数这一工具。第2小题给出函数满足的不等式，应想到是关于函数的极值与最值的问题，这样便可利用导数作为解题的工具了，但是部分同学却想不到这一点，以至失分。例4．已知,讨论函数的极值点的个数。分析:该题本质上是一道关于导数的运算及应用的问题，从考试的结果来看，这道题是较难的试题，学生的得分不高。此题出现的错误有以下4个：(1)不求导,直接对原函数中的二次函数进行讨论;(2)求导公式记不正确,导致运算出错,如,等;(3)求导之后不知道如何讨论极值点
7、的个数;(4)分类讨论不。.2.误区原因解析导数如此的重要，就有必要对导数的应用误区做一些必要的剖析.它在哪些方面容易出错呢？3.1定义理解不透彻。导数的定义如下:设函数在处附近有定义,当自变量在处有增量时,则函数相应地有增量,如果时,与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数,记作,即．导数的表达形式有多种，常见的有以下两种形式：对导数的定义，我们应注意以下四点：(1)增量的形式是多种多样的,但不论选择哪一种形式,相应中也必须选择对应的形式;(2)函数应在点的附近有定义,否则导数不存在;(3)导数定义中还包含了
