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1、探析导数在高中数学中的应用■中学数学论文探析导数在高中数学中的应用常利军(山南地区第二高级中学，西藏山南856000)摘要：随着我国教学制度的不断改革，导数在高中数学中作用越来越重要，而且在高考中所占的分值逐渐增大。通过高中数学导数的学习，掌握其基本定义和原理，能够帮助我们解决多种问题。本文通过实例说明导数的具体作用，希望能够在导数的学习和使用中起到一走作用，能够让学生充分认识到导数的重要性和便捷性。关键词:高中数学；导数；函数；应用中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-05-0007-02导
2、数是新课改以后新增的内容，在高中数学学习过程中越来越受到重视。随着高中数学导数的引入，不仅能够提高学生对函数形态的理解，更能够激发学生的创新思维，将数学知识运用到其他学科中，也能够学以致用解决简单的生活问题,激发了学生对高中数学的积极性。但是导数在初学中还是有一定难度，初学者一定要深刻理解导数的定义，掌握简单函数的求导方法，并进一步将其运用到复杂函数的求解问题中，通过不断学习将其运用到实际生活中，解决生活中的问题,为以后的学习和应用打下坚实的基础。一、导数在求函数单调性中的应用在高中数学的学习中,我们经常会遇到判断某一个函数单调性
3、或者要求分析函数的单调区间问题，通常我们是根据函数的特性，画岀其图形来求解，但是过程比较复杂，学生也不容易掌握,给教学带来困难。但是随着导数在高中数学中的出现和应用，我们对导数的性质硏究发现，在某个区间(a,b)内，如果f(x)0,那么函数y二f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)O,那么函数y二f(x)在这个区间内单调递减；如果在某个区间内恒有f(x)二0,则f(x)是常数函数。由于导数的这一性质大大方便了我们解决有关函数单调性的问题。下面我们通过实例1来证明导数的这一作用。实例1:已知f(x)=ax3+3x2・x+1在R上
4、是减函数，求a的取值范围。通过分析我们发现,这一例题已经明显告诉函数的单调性,要求我们利用导数的性质，确定出a的取值范围，下面是具体的求解过程:由以上的解题过程我们发现，这道题目就是考查学生是否掌握导数的基本性质，并是否能够灵活运用，培养学生运用导数解题的意识。二、导数在求函数极值中的应用在高中数学中经常岀现的另一类题目就是求某个函数在指定区间的极值问题。通过对导数性质的研究发现，如果函数的导数在某个区间的两侧符号不同，此函数在区间内存在极大值或者极小值。一般的解题过程是首先确定函数的定义域,再对函数进行求导,通过判断区间两侧的符
5、号，确走函数的极值。在实际应用中可能会灵活变动但是最终还是函数的求导问题。同样我们通过实例2来进行分析运用导数求极值的具体应用。实例2:设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x“及x二2时取得极值。⑴求a、b的值;(2)若对于任意的xw[0再],都有f(x)c2成立，求c的取值范围。对题目进行分析我们很容易就能发现，这是明显的运用导数来解决极值的问题，只不过具体使用中发生灵活的变动，但是最终离不开其本质和目的。下面是具体的解析过程:解：(1)、广(兀)=6x~+box+3b,因为函数f(兀)在a=1及久：=2.「亠6+6
6、ct-F36=0,,取得极值，则有r(i)=o,r(2)=o.即“’，解得24+12«+36=0.a—-3,6=4(2)由(1)可知f(x)=2x3-9x2+12x+8c,f(x)二6x2-18x+12=6(x・l)(x-2)o当xG(0,1)时，f(x)0;当xe(lr2)时zf(x)0;当XG(2,3)时zf'(x)0。所以，当x=l时,f(x)取得极大值f⑴二5+8c，又f(0)=8c,f(3)=9+8co则当xGO,3时，f(x)的最大值为f⑶=9+8co因为对于任意的xGO^,有f(x)c2恒成立,所以9+8cc2,解得
7、c・l或c9,因此c的取值范围为(-oo,・1)U(9,+口。答案：(l)a二-3,b=4;(2)c的取值范围为(-oo,・l)u(9,+8)。通过解析我们发现”在此题目中明显利用了导数求极值”并没有太大的变化”只是考查通过导数求极值的一般过程，即首先求导数facute;x;其次求facute;x=O的根；最后求出函数的单调区间，由f'(x)在各区间上取值的正负可确定并求出函数f(x)的极值。同样为了提高学生在解题过程中的对函数进行求导意识。三、导数在几何问题中的应用在高中的数学中经常要求我们解决一些复杂的几何问题，如果采用普通的
8、方法，我们也能够通过几何分析得出答案，但是此过程比较复杂，要求学生有严谨的逻辑思维，计算量也比较大，容易出错。通过对导数性质的分析和研究，用导数来解决高中数学中的几何问题不仅计算量少，而且对学生的逻辑思维没有严格的要求，容易得出答案，可避免不必要的
