从考研数学试题谈导数的应用

《从考研数学试题谈导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、1引言数学在我们的学习和工作中起奠基作用，从2003年起考研数学分数由原来的100分调整至150分，这说明数学在考研中起着举足轻重的作用。考研数学由于其自身学科的特点，一直属于拉分的科目，因此经常在一些考研论坛上听到这样的说法：得数学者得天下。这种说法可能不完全正确，但却说明了数学在考研中的重要性，可以说数学是拉开考研分数的一个分水岭。因此，我们应该引起高度的重视，而导数在考研数学中占据了相当的份量，有着广泛的应用。导数是我们解决某些问题的工具，我们在高中的时候对它就有了一定的认识，在大学里我们进一步学习导数，在研究生入学考试中我们仍然考查导数，可见导数之重要,应用之广泛。为了能更好地解决考研

2、数学中有关导数的问题，我们就要熟练地掌握导数的定义、性质、基本公式、运算法则等并对一些能用导数解决的问题进行归纳与总结，并给出相应的求解方法。国内外也有许多人对导数的应用进行了相应的探究，但对于导数在考研数学试题中的应用并未给出全面，系统地概括与阐述。因此，我结合所学知识和查阅相关资料，从利用导数定义解题、利用导数求未定式极限、利用导数研究函数这三方面着手对导数的应用进行讨论。本文中例题的选取以内容为准，以题型归类，边分析例题，边讲解思路，边解题，边思考，解题完毕后，概括题型特征，归纳、总结出几类题型的解题方法。对导数的应用全面、深刻地理解，为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和途径，有助于

3、我们快速、准确地解决相关问题，深入理解，巩固提高，灵活运用所学知识。下面我就从考研数学真题来谈谈导数的应用。2利用导数定义解题2.1相关概念的阐述导数：设在及其附近有定义，。若存在，则称在可导且极限值称为在点的导数，记为或。另外，还应注意一等价定义，即：=。导数是函数增量与自变量增量之比的极限。导函数：若函数在内点点可导，则称在内为可导函数。对于内可导的函数来说，对，都有的一个导数值与之对应，这样就得到了一个定义在内的函数，称为在内的导函数。记作：或，即。单侧导数：包括左导数与右导数，而左导数：右导数：单侧导数常用来判断函数在点处的可导性，即：若存在，存在且相等。偏导数：函数在点处有定义，则对

4、在点处的偏导数可定义为：，同理可定义对在点处的偏导数为：2.2利用导数定义解题在遇到以下情形时我们用导数的定义进行求解：①判断函数在某点的可导性；②已知存在求极限或已知极限求；③判断分段函数在分段点的可导性与含绝对值符号的函数的可导性；例1（06年考研真题）设在处连续，且，则（C）（A）且存在（B）且存在（C）且存在（D）且存在分析：从选项知，要求的是函数在某点的函数值及判断单侧函数的存在性，前者从入手计算，运用极限的重要结论即，后者用单侧导数的定义进行求解即可。解：由存在且分母极限为0，得分子极限也应为0，即：排除（B）（D）。而存在。故选（C）例2（08年考研真题）已知，则（B）（A），都

5、存在（B）不存在，存在（C）存在，不存在（D），都不存在分析：从选项知，要判断函数在某定点偏导数的存在性，用偏导数的定义进行判断即可。解：，此时不存在，而故选（B）归纳总结：在考研数学中，导数（偏导数）的定义非常重要，我们要熟练地掌握其定义式。在解题的过程中，我们应该形成一种思维定势：若在题设条件中给出一个函数在某点处的导数值，即，不管“三七二十一”，根据所求把函数在该点的导数定义式“凑”出来再说。除此之外，我们要把导数与所学过的知识结合起来解题，并能灵活运用。在做有关导数定义应用的选择题时，要学会通过举反例排除的方法，一般我们可举分段函数或含绝对值符号的函数进行排除。3利用导数求未定式极限未

6、定式[1]极限是每年考研必考的内容，而未定式的求解有很多方法，洛必达法则[2]是求未定式极限的重要方法之一。洛必达法则是以导数为工具研究未定式极限的方法，而未定式极限有，，，，，，这七中类型。而使用洛必达法则的前提是或型未定式，对于不是这两种类型的未定式，我们必须先化简，再利用洛必达法则进行求解。3.1和型未定式若是或型未定式，则直接利用洛必达法则即：若（有限数）或，则=或。例3（08年考研真题）求极限解：此题属于型直接利用洛必达法则即可原极限=注：在利用洛必达法则求未定式极限时，应尽量简化未定式，常利用无穷小代换进行简化，此时就要求我们熟记常见的几个等价无穷小代换。3.2和型未定式例4（05

7、年考研真题）求分析：此题为型未定式，不能直接利用洛必达法则，须先化简。解：原极限注：①若型未定式为两分式之差，利用通分即可化为型未定式。②若型未定式不含分式，但含无理式,则利用无理式有理化即可化为型或型未定式。③若型未定式既不含分式也不含无理式，通常利用倒代换即可化为两分式之差，再通分就可化为型未定式，此时利用洛必达法则求解即可。④若为型可化为型或型，即型或型，再利用洛必达法则即可。3.3，和型未