谈高中数学中导数的应用

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1、谈高中数学中导数的应用【摘要】导数部分作为新教材中的新增内容，导数是一个很好的工具，应用十分广泛，因此近几年的高考逐年加大对导数问题的考查力度，导数的应用为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和途径，拓宽了函数应用的领域，成为中学数学的一个新的亮点.因此，在探讨函数的单调性、极值（最值）、不等式、根的分布以及解析几何问题等有关问题时，要充分发挥导数的工具性作用，优化解题策略、简化运算.本文在对高考试题分析的基础上归纳总结涉及导数问题的几类问题及其求解策略。【关键词】高中数学导数应用1.利用导数定义求极根2.用导数研究函数图像例2（2006

2、年天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点().解析函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选a。3.利用导数研究函数的单调性例3函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数?解析y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx-sinx=x

3、cosx，当x∈3π2，5π2时，恒有xcosx＞0.故选c.4.利用导数研究函数极值与最值例4（2006年全国文20）设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.（1）求a，b的值；（2）若对于任意的x∈［1，3］，都有f(x)解（1）f′(x)=6x2+6ax+3b，∵函数f(x)在x=1及x=2取得极值，则有f′(1)=0，f′(2)=0.即6+6a+3b=0，24+12a+3b=0，解得a=-3，b=4.（2）由（1）可知，f(x)=2x3-9x2+12x+8c，f′(x)=6

4、x2-18x+12=6(x-1)(x-2).当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，2)时，f′(x)0.∴当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=5+8c.又f(0)=8c，f(3)=9+8c，则当x∈［0，3］时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c.∵对于任意的x∈［0，3］，有f(x)∴9+8c9.因此c的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞).点评利用导数求函数极（最）值是近几年高考必考的一个重要知识点.5.利用导数的几何意义处理曲线的切线问题例5(2005年福建卷)已知函数f(x)=ax-6x2+b的图像在点m(

5、-1，f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0，求函数y=f(x)的解析式。解∵f′(x)=a＆#8226;(x2+b)-(ax-6)＆#8226；2x(x2+b)2=ab+12x-ax2(x2+b)2，∴f′(-1)=ab-12-a(1+b)2=-12.①又f(-1)=-a-61+b=-2，②联立①②，解得a=2，b=3.于是函数y=f(x)的解析式为f(x)=2x-6x2+3.点评①以上两题主要考查导数的几何意义、切线方程、公切线方程的表示法以及方程的相关知识.这是导数的一种最基本的应用.②f′(x0)的几何意

6、义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率，其切线方程可以表示为y=f(x0)=f′(x0)(x-x0).6.用导数解决交点的问题用导数来探讨函数的图像与交点的问题就是根的分布问题.主要的步骤是：（1）首先构造函数f(x)；（2）研究函数的单调性和极值；（3）画出函数的图像，观察与x轴的交点情况.例6已知平面向量a=(3，-1)，b=12，32.（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2-3)b，y=-ka+tb，x⊥y，试求函数关系式k=f(t)；2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0

7、的解的情况.解(1)∵x⊥y，∴x＆#8226;y=0，即［a+(t2-3)b］＆#8226;(-ka+tb)=0.整理后，得-ka2+［t-k(t2-3)］a＆#8226;b+(t2-3)＆#8226;b2=0.∵a＆#8226;b=0，a2=4，b2=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=14t(t2-3).(2)讨论方程14t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=14t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是f′(t)=34(t2-1)=34(t+1)(t-1).令f′(t)=0，解

8、得t1=-1，t2=1.当t变化时，f′(t)，f(t)的变化情况如下表：f(t)↗极大值↘极小值↗当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=12；当t=1时，f(t)有极小值