欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:34717096
大小:1.33 MB
页数:9页
时间:2019-03-10
《名师谈导数在全国高中数学中应用技术》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、名师谈导数在高中数学中的应用自从导数加入中学数学教材,我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面:1、切线的斜率(导数的几何意义);2、函数的单调性;3、函数的极值;4、函数的最值。导数一旦与函数、向量、解析几何等结合起来,问题的设计便更加广阔。在近年高考中有不少精彩的题目,而且有些是压轴题,在本文中,我将对“导数在高中数学中的应用”作一些初步的探讨。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。y011x1在代数中的应用1.1对导数几何意义的考查例1(2005年江西卷)已知函数的图象如图1所示(其中是函数的导数),下面4个图象中的图象大致是
2、()。ABCDyx01221yx01221x01221xy01221y聞創沟燴鐺險爱氇谴净。分析:这是考察求导法则,函数图象与轴交点情况和方程实根的关系等基础知识,考察导数的意义。由图象可知,,所以在处有平行与轴的切线,故选C。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。1.2判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一,是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的,其思维方法有:一、利用增(减)函数的定义判断单调性;二、导数法。利用在内可导的函数在上递增(或递减)的充要条件是(或),恒成立(但在的任意子区间内都不恒等于0)。方法一化简较为繁琐,比较适合解决抽象函
3、数的单调性问题,而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.,特别是对于具体函数更加适用。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例2.已知。(1)求的单调增区间;(2)若在定义域R内单调递增,求的取值范围;(3)是否存在使在上单调递减,在上单调递增?若存在,求出的值;若不存在,说明理由。分析:本题是关于函数单调性的问题,若用定义来判断函数单调性,在计算方面必遇到一些困难,因此,我们采用导数法解题。函数增区间是恒成立的区间,函数的减区间是恒成立的区间(导数值为零的点为有限个)。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解:(1)令,得,9/9当时,有在R上恒成立;当时,有。综上情况,当时,的单调增区间为;当
4、时,的单调增区间为。(2)在R上单调递增,(等号只能在有限个点处取得)恒成立,即,恒成立。时,,。(3)由已知在上单调递减,在区间上单调递增可知,是的极值。,存在满足条件。1.3求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点,也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面,要解决这类问题往往需要各种技能,并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化,步骤清晰,学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系,极值是一个局部性概念,最值是某个区间的整体性概念。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例3.(2005年山东卷)已知函数是函数的一个极值点,其中,。(1)求与
5、的关系表达式;(2)求的单调区间;(3)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于,求的取值范围。分析:这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识,第1小题根据极值点处导数为零,可确定与的关系;第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到,列出表格,答案一目了然;第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。解:(1)由是的一个极值点,知,即,(2)由(1),得由知,,当变化时,与的变化如下:1009/9递减极小值递增极大值递减由上可知,在区间和上递减,在区间上递增.(3)由已知得,即,即当时,有.①设,其函数开口向上,由题意①式恒
6、成立,所以即解之得,,又,所以.即的取值范围为.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。1.4证明不等式例4.求证:分析:本题通过导数与函数单调性的关系,自然地将导数与不等式结合在一起,灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数;再对进行求导,得到;然后观察得到当时,,即在时是增函数;最后可得当时,,即[6].鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解:令则在上是增函数.当时,即1.5证明组合恒等式例6.求证:分析:先观察等式左边,很容易联想到二项式;然后对二项式进行求导,得到;最后令,就可以得到我们要证的等式.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。证明:对上面等式两边求导,得令,得原题得证.1.6解决数列中的问题例7
7、.求和9/9分析:当时,是等差数列1,2,的和;当时,可看作的导数,而是等比数列,易知,最后再对求导即可得到[4].預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解:当时,当时,由,得即1.7讨论方程解的个数例8.,讨论关于的方程的解的个数.分析:这道题是属于超越方程的问题,直接求出有一定的困难,因此可以利用导数的知识,用数形结合的方法来做.先作一条与曲线相切的直线,求出的值;再根据的取值范围,讨论方程的解的个数.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。解:依题意可知,方程的解的个数就是直线与曲线的交点的个数,设直线与曲线相切于点则由图可知,原方程当或时,
此文档下载收益归作者所有