导数在全国高中数学教学中的应用(理论)

《导数在全国高中数学教学中的应用(理论)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、导数在中学数学中的应用高中数学中导数的引入为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便,尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题,更可以用导数来解决部分结合问题.另外导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数、甚至数列知识更加紧密的联系在一起.近年来,导数的相关知识在高考中的地位日益突出,本文就简单谈谈导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用.1导数的定义的相关定义很多人知道,对于很多问题,采用用高等数学的方法和初等数学的方法都可以解答,但是高等数学的方法相对于初等数学的方法可以使一些概

2、念更准确,对某些问题的理解会更深刻,使一些证明更严谨或更简单,并为许多问题提供的解题途径.我们高中对导数的学习只是出略的,更多相关的知识要高等数学中才会学习,但我们应该明白高中出现的函数几乎都是可导函数.但我们还是要注重有关概念的辨析,避免应用导数解决相关问题是出现错误.为了更清楚地了解导数的定义我们应用高等数学中导数的定义方式.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1.1函数连续的定义定义1若函数在的附近包括点本身有定义,并且.则称在连续,或称点是f(x)的连续点.1.2导数的定义定义2设函数y=在点的某个邻域内有定义,若极限存在

3、,则称函数在处可导,并称该极限为函数y=在点处的导数,记作.注：(1)函数应在点x0x的附近有定义,否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中,趋近于0可正、可负、但不为0,可能为0.(3)是函数y=f(x)对自变量x在Dx范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线上点(x0,及点(+,的割线斜率.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(4)导数是函数在点的处瞬时变化率,它反映的函数在点处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线上点(,)处的切线的斜率.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(5)若极限不存在,则称函数y=f(x)在点处不可导.(6)如果函

4、数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数,则称函数在开区间内可导；此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数,称这个函数.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。2导数在函数问题中的应用2.1利用导数作函数的图像中学数学教材中介绍的描点法作函数图像,作图比较粗糙不准确,一般只适用于简单的函数,但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（1）求出函数的定义域；（2）考察函数的奇偶性、周期性；（3）求函数的一些特殊点,如与两坐标轴的交点等(

5、列表)；（4）确定函数的单调区间,极值点,凸性区间及拐点(列表)；（5）考察渐进线；（6）画图.例1作函数的图像.解：(1)函数的定义域(2)曲线与x,y轴交点分别为.(3)令解得令解得(4)现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点：-5-21+0———0+———0+++↗凹80极大↘凸26拐点↘凹-28极小↗凹(5)无渐进线(6)作图：(-5，80)（-2,26）（-1，0）0（1，-28）XY图12.2利用导数求参数的值在一些含位置参数的题中,有我们通过运用导数之似乎可以化简函数,从而更快速的求出参数.例

6、2已知函数在区间[-1,1]上是增函数,求实数的取值所组成的集合A.解又在[-1,1]上是增函数对恒成立,即对恒成立.设,那么问题就等价于即故所以A=.2.3判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一,是研究函数所要掌握的最基本的知识.通常用定义来判断,但当函数表达式较复杂时判断正负较困难.运用导数知识来讨论函数单调性时,只需求出,再考虑的正负即可.此方法简单快捷而且适用面广.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例3已知是定义在R上的函数,其图像交轴于三点,点的坐标为(2,0),且在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.

7、厦礴恳蹒骈時盡继價骚。(1)求的值. (2)若函数)在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, 的图像上是否存在一点,使得在点的切线斜率为?若存在,求出点的坐标.若不存在,说明理由.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解分析:（1）, 在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.=0是的一个极值点,故.=0 （2）得,,  因为在[0,2]和[4,5]有相反的单调性,  在[0,2]和[4,5] 有相反的符号.  故,. 假设存在点使得在点的切线斜率为,则.   即.,而. 0. 故不存在点使得在点的切线斜率为.2.4研究方程的根我

8、们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理,但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力,并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。例4若,则方程在上有多少根？解设,则当且时,,故在上单调递减,而在与处都连续,且,故在上只有一个根.导数有一个很好的作用就是降次,我们可以三