例谈导数的几个简单的应用.doc

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1、例谈导数的几个简单的应用王耀辉高中阶段学习导数以后，常常把导数作为研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题等来运用．实际上，它还有其他方面更多的应用．本文就根据高中学过的一些内容，列举了导数的几个简单的应用，供读者学习时参考．1．利用导数的定义求极限在一些教辅资料、高考题中，出现了一类特殊极限求值问题，最常见的是型，感觉不好求．若能灵活运用导数的定义，问题便会迎刃而解．例1．求值：（1），（2）．解：（1）根据导数的定义，该式实际上为求函数在点处的导数．所以．（2）根据导数的定义，该式实际上为求函数在点处的导数．所以．例2．（2010年全国卷文科21题）设函

2、数．若当时，求实数的取值范围．解：由已知得（），即（），当时，；当时，分离参数得（），令（），求导得（），再令（），则（），∴在上递增，∴，∴，∴在上递增．∴，所以．因为，所以．综上所述，实数的取值范围为．2．利用函数极值点导数为零的性质，在三角函数中求值例3．已知图像的一条对称轴方程为，则的值为（）A．B．C．D．2解析：由于三角函数的对称轴与其曲线的交点为极值点，3所以由，得，故．例4．已知函数的图像向左平移个单位所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A．B．C．D．解析：设函数图像向左平移个单位后的函数解析式为：，由于为偶函数，所以．又，所以，，故的最小值为．例5．已

3、知，求的值．解析：设，则曲线过点．由于，其中．所以函数在点处取极小值，导数为零．即，所以，从而．3．导数在数列求和中的应用例6．已知数列的通项为，求数列前项的和．解析：令，则所以4．导数在二项式中的应用例7．证明：．证明：令，3对等式两边求导，得：，令，代入上式即得，即．5．导数在三角恒等变换公式中的应用在三角恒等变换公式中，公式多，不易记，应用导数可以将这些恒等式进行沟通．（1）两角和、差的三角函数公式，①视为变量，为常量，对等式①两边求导，得即，②反过来，视为变量，为常量，对等式②两边求导，得故利用上述求导方法有：（2）二倍角公式（3）积化和差公式，．当然，导数的应用不只这些

4、，本文只是抛砖引玉，有兴趣的读者还可以继续探索．3