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《弹性理论中半无限平面问题的应力解答_卜万奎》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第25卷第4期黑龙江大学自然科学学报Vol125No142008年8月JOURNALOFNATURALSCIENCEOFHEILONGJIANGUNIVERSITYAugust,2008弹性理论中半无限平面问题的应力解答卜万奎,董正筑,卢爱红,李强(中国矿业大学理学院,徐州221008)摘要:经典弹性力学中对于半无限平面弹性体应力边界问题,即便是应力分量满足了平衡方程和相容方程,满足了应力边界条件,但应力分量并不一定是正确解答。从复变函数角度出发,得到了零外载荷且无穷远处应力为有限值时的半无限体自平衡解答,通过算例分析,得出半无限平面体正确的应力解答应是在经典
2、弹性应力解答基础上叠加上一项自平衡解答。关键词:楔;半无限体;弹性力学;复变函数中图分类号:O343文献标志码:A文章编号:1001-7011(2008)04-0452-030引言20世纪90年代,《力学与实践》曾有几篇文章对半无限平面问题应力解的问题进行过一些讨论,对于半无限平面弹性问题,力学中一般并没有直接求解,而是由求解半无限楔形体问题间接得到其解答的。对于不同载荷需要选取不同的应力函数,然后通过叠加法(影响线法),得到一般的解答,但是对于单边受切向力或三角形载荷时,一般的叠加法是发散的。文献[1]认为半无限楔形体问题间接得的解答是不正确的,其中少了一项
3、发散项。文献[2]认为两个解答都是正确的,解答可以叠加上一个自平衡项,但是没有给出一般性的自平衡项的表达式,并且给出的例子有错误。文献[3]认为半无限楔形体问题间接得的解答是不正确的,正确的解答应该是不定解。文献[4]认为在弹性力学问题中存在奇异解的情况,这与弹性力学解的唯一性定理是不一致的.为此,需要对弹性力学解的唯一性定理的适用条件适当加以说明.事实上,对于半无限平面问题,应该考虑半无限平面无穷远处的边界条件,文献[5]112页的一段话具有指导意义:“应力分布与作用在整个闭合边界(例如ABnm)上的任何力都有关,而不仅与AB上的情况有关。即使当ABnm趋于
4、无穷远时也是如此”。文献[6]引入了半无限体的无穷边界条件,推导出半无限层表面的位移与应力关系式;文献[7]在推导多层半无限弹性体在任意荷载作用下的理论解时也用到了无穷远处的边界条件;文献[8]在推导正交异性半无限固支板条的弹性解时考虑了无穷远处受载的条件;文献[9]对水平表面作用无限均布压力下弹性地基的应力和位移解答进行研究,结果表明:对边界条件不明确的无限边界仅采用解答的必要非充分条件———平衡条件来等效处理,其应力解答不是唯一的,因为此时该边值问题不是一个适定的数学问题。因此,文献[1-3]争论问题的主要原因是半无限楔形体问题间接得的解答没有明确提出无穷
5、远处应力边界条件。在求解半平面问题时除了考虑直线边界上的应力边界条件外,还应包含无穷远处的应力条件。本文从复变函数角度出发,得出零外载荷且无穷远处应力为有限值时的半无限体自平衡解答,指出半无限平面体正确的应力解答应是在经典弹性应力解答基础上叠加上一项自平衡解答。1半无限体的自平衡解答111复变函数的应力函数表达式圆外平面问题在常体力情况下,应力函数满足双调和方程,此时应力函数用复变函数表示为:收稿日期:2008-03-01基金项目:高等学校学科创新引智计划资助项目(B07028);中国矿业大学青年科研基金资助项目(2006A039)作者简介:卜万奎(1981-
6、),男,博士研究生,主要研究方向:采动岩体力学与工程第4期卜万奎等:弹性理论中半无限平面问题的应力解答·453·φ(z)=Re[€zφ1(z)+θ1(z)]其中φ1(z)和θ1(z)是两个解析的复变函数。令ψ1(z)=θ′1(z),则ψ1(z)仍然是解析的复变函数。当无穷远处的应力为有限值时,φ1(z)和ψ1(z)表达如下:∞∞-n-nφ1(z)=(B+iC)z+∑anz,ψ1(z)=(B1+iC1)z+∑bnzn=0n=0在不改变应力状态的条件下,可以取C=0,a0=0,b0=0θi设z=re,应力函数表达式为:∞∞2B12C12-n+11-nφ(r,θ)=
7、Br+b1lnr+rcos2θ-rsin2θ+B′+∑anrcos(n+1)θ+∑-bn+1rcosnθ22n=1n=1n(1)112自平衡应力解答半无限体的应力边界条件:当θ=0,θ=π时σθ=0;τθr=0。由上述应力函数表达式(1)和弹性理论中应力分量表达式,得出半无限平面的应力解答:∞-2-n-22σr=2B+2Bcos2θ-4a1rcos2θ+∑an+1r[-(n+5n+4)cos(n+2)θ+n(n+1)cosnθ](2)n=1∞-n-2σθ=2B-2Bcos2θ+∑n(n+1)an+1r[cos(n+2)θ-cosnθ](3)n=1∞-2-n-2
8、τθr=-2Bsin2θ-2a1rsi
