弹性力学平面问题的极坐标解答.ppt

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1、第四章平面问题的极坐标解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoordinates4—4Coord

2、inatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4—6圆环或圆筒受均布压力(P64)qaqbabHollowCylinderSubjectedtoUniformPressures例1.图示圆环或圆筒,内半径为a,外半径为b,受均布内压qa和均布外压qb作

3、用Ahollowcylinderwithinnerradiusaandouterradiusbissubjectedtointernalpressureqaandexternalpressureqb.由于结构轴对称,荷载轴对称,所以应力分量也是轴对称,直接利用公式Evidentlythestressdistributionmustbeaxisymmetrical.利用边界条件求待定常数A、B、C恒满足边界条件:qaqb考察环向位移(forcircumferentialdisplacement):是多值项,对于同一r,当不同,该项有不同的值,而在此轴对称问题中,

4、这是不可能的(P65)由上述两个边界条件不能完全确定A、B、C,因此要考虑位移单值条件NowthetwoequationsarenotsufficienttodeterminethethreeconstantsA,B,Candwehavetoconsidertheconditionofsingle-valueddisplacement.Inthehollowcylinder,thisisphysicallyimpossible.根据位移单值条件,可知:B=0上述边界条件变为:最后求得:讨论只有内压或只有外压单独作用的情况a、只有内压力的作用:qb=0Ifqb=0

5、(onlyinternalpressureqa=0acts),结论:r总为压应力,为拉应力应力分布如图所示:rqa当圆环或圆筒的外半径b时,它就成为具有圆孔的无限大薄板,或具有孔道的无限大弹性体,应力分量为risalwayscompressionandisalwaystension.Whentheouterradiusbismuchlargethantheinnerradiusa,thecylinderbecomesalargebodywithasmallcircularholeofradiusa.应力与a2/r2成正比,当ra时,应力分

6、量很小,这也证实了圣维南原理Attheedgeofthehole(r=a),r=-qaand=-qa.Atalargedistancefromthehole,thestressesarenegligiblysmall.b、只有外压力的作用:qa=0Ifqa=0(onlyexternalpressureqb=0acts),Bothrandarealwayscompression.应力分布如图所示:rqbThedistributionofthenormalstressesisapproximatelyshowninthefigurebelow,4—

7、9圆孔的孔边、应力集中一、应力集中(stressconcentration):具有小孔的弹性体,受力时孔边的应力远大于无孔时的应力或距孔边稍远处的应力,这种现象称为应力集中现象二、应力集中的原因:不是由于截面减小而使应力增大,而是由于孔的存在,孔附近的应力状态与应变状态完全改变了Effectofcircularholesonstressdistribution三、应力集中的特点:(1)局部现象:离孔越远,应力集中现象消失越快(2)应力集中程度与孔的形状有关,圆孔较小;尖角孔应力集中程度高(3)同样形状的孔,应力集中的倍数与孔的大小无关四、圆孔的孔边应力集中问题圆

8、孔的孔边应力可以用较简单

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