弹性力学-第四章-平面问题的极坐标解答.ppt

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1、第四章平面问题的极坐标解答胡衡武汉大学土木建筑工程学院弹性力学及有限元二零零八年五月极坐标中的应力分量xyo由径向线和圆弧线围成的圆形，扇形等弹性体，适合用极坐标求解。与直角坐标的区别：坐标的量纲不同。坐标的方向不同。与直角坐标的相同处：应力与体力的正负号规定相同。切应力互等。极坐标中的平衡方程（1）xyo极坐标中的平衡方程（2）xyoxyoPAP’A’BB’C极坐标中的几何方程（1）—假定只有径向位移B’’P’’A’’xyoPAB极坐标中的几何方程（2）—假定只有环向位移xyoPAP’A’BB’C极坐

2、标中的几何方程（3）—纯径向位移下的线应变很小，导致P’C与P’B’的差别可以忽略，因此：xyoPAP’A’BB’C极坐标中的几何方程（4）—纯径向位移下的切应变在仅有径向位移的情况下，段PA没有转动，因此：B’’P’’A’’xyoPAB极坐标中的几何方程（5）—纯环向位移下的线应变DD’很小，导致P’’A’’与PA的差别可以忽略，因此：B’’P’’A’’xyoPAB极坐标中的几何方程（6）—纯环向位移下的切应变DD’极坐标中的几何方程（7）将纯环向与纯径向位移的结果相加得极坐标中的几何方程：极坐标中的

3、物理方程极坐标中的物理方程与直角坐标中的物理方程形式一样，只需将直角坐标x和y换成和即可，如平面应力问题的物理方程为：换为换为对于平面应变问题：极坐标中的应力函数与相容方程（1）为了简化推导，可以将直角坐标的公式直接变换到极坐标中来，为此，我们需要如下关系式：极坐标中的应力函数与相容方程（2）建立直角坐标中的应力函数与极坐标中应力函数的关系：极坐标中的应力函数与相容方程（3）证明以上应力分量满足平衡方程。极坐标中的应力函数与相容方程（4）代入直角坐标中的相容方程：将环向正应力与径向正应力相加：得到极坐标

4、中的相容方程：注：当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题需要满足相容方程，应力边界条件以及位移单值条件。应力分量的坐标变换式（1）应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立两者之间的关系。xyoBA设A中斜边上的面积为ds,则由A中径向上的力平衡，得到：应力分量的坐标变换式（2）应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立两者之间的关系。xyoBA简化后得到：应力分量的坐标变换式（3）应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立两者之间的关系。xyoBA由A中环向上的力平衡，得到：应力

5、分量的坐标变换式（4）应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立两者之间的关系。xyoBA由B中环向上的力平衡，得到：应力分量的坐标变换式（5）整理结果如下：轴对称应力状态下的应力（1）所谓轴对称，是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。因此，轴对称应力状态下的应力分量只与径向坐标有关而与环向坐标无关，而应力函数只是径向坐标的函数，即：简化相容方程：轴对称应力状态下的应力（2）轴对称问题的拉普拉斯算子可以写成：代入相容方程：得到：轴对称应力状态下的应力（3）积分四次

6、得到应力函数：轴对称应力状态下的应力（4）轴对称问题的应力分量函数：轴对称应力状态下的位移（1）由物理方程可由应力分量得到应变分量：轴对称应力状态下的位移（2）由几何方程可由应变分量得到位移分量：轴对称应力状态下的位移（3）轴对称应力状态下的位移（4）将以上得到的环向径向位移代入切应变的几何方程：得到：轴对称应力状态下的位移（4）分离变量以便求得未知函数的形式：轴对称应力状态下的位移（5）轴对称应力状态下的位移（6）代入得到轴对称问题小结以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般表达式，适用任何轴

7、对称应力问题。其中，待定系数将由应力边界条件，位移边界条件和位移单值条件确定。若位移边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。圆环或圆筒受均布压力（1）q1q2边界条件：圆环或圆筒受均布压力（2）q1q2两个方程三个未知数，不能求解A，B，C。因此，需引入位移单值条件：该项必须为零，否则在环上同一点有两个不同的位移，故B=0圆环或圆筒受均布压力（3）q1q2因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅（G.Lame,1795—1870，法国）解答：圆环或圆筒受均布压力（4）q1q2若只有内压力，则径向正应力为压应力，

8、而环向正应力为拉应力。另外，若R无穷大，即在无限大薄板中有一圆孔，或在无限大弹性体中有一孔道，则：注：远离孔口处应力很小，可以不计。压力隧洞（1）设有圆筒，埋在无限大弹性体中，受有均布压力q，圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为E，μ和E’，μ’。圆筒内外径分别为r和R。无限大弹性体可看成是内径为R而外径为无限大的圆筒。q压力隧洞（2）圆筒无限大弹性体轴对称问题环向位移的一般解答：圆筒无限大弹性体压力隧洞（3）由应力边界条件得：1.圆筒内壁：