弹性力学平面问题的极坐标解答4

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1、第四章平面问题的极坐标解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoor

2、dinates4—4CoordinatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4—11半平面体在边界上受集中力Pyxabcro例5.图示半平面体，在边界上受集中力P作用，力与边界法线成角，取单位厚度（力沿厚度均布，量纲

3、为“力·长度-1”），建立图示坐标系ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary用逆解法，首先假设应力函数分析：任一点的应力分量与P、r、、有关，从量纲来看，P力·长度-1，r长度，、无量纲，所以应力分量的表达式只可能是P/r[k]，[k]为无量纲项，可由和组成，所以应力函数只能是r的一次式，即将所设应力函数代入相容方程得：解此方程，求得：由此求应力分量：根据边界条件求待定常数C，DyxabcroP半平面体的边界条件：上述两个条件恒满足还有一组边界条件：在o点附近，有集中力P作用

4、，其分布情况未知，但合力为PyxabcroP可作如下处理：取任一个半圆形截面abc，其上的面力与P构成平衡力系xabcroPrr由应力边界条件转换而来的平衡方程如下：将r的表达式代入，求得：应力分量的最后解答为：当r趋近于零时，r无限大所以上述公式的适用条件：离开o点稍远处（圣维南原理），且在弹性范围内讨论：P力垂直于边界时的情况yxoP1、求应力分量：将=0代入上式，得：利用公式将其变换成直角坐标系中的应力分量：2、求应变分量(将应力分量代入物理方程）3、求位移分量(利用几何方程）求得位移分量：yxoP由于问

5、题的对称性，在ox轴上有：所以位移分量为：常数I可由竖直方向的约束条件确定，若竖直方向无约束，则I不能确定，因为I代表竖直方向的刚体位移因为I未确定，所以M点的沉陷也不能确定，但我们可以求两点间的相对沉陷4、求边界上任一点M的沉陷yxoPrM在边界上另取一点B，它距o点为s，如图yxoPrMBsM、B两点的相对沉陷为：上述解答也称符拉芒解答将上述变形公式中的EE/（1-2）；/（1-），就得平面应变情况下应变或位移的公式4—10半平面体在边界上受分布力图示半平面体，在其边界AB一段上受铅直的分布力，它在各点的集度为qyxoa

6、bABqyxoabxyMABq如何求平面内任一点M（x，y）的应力？利用上节的应力公式和叠加原理1、在AB段上距o为处取微长度d，其上所受的力dP=q·d可看作集中力，如图d2、由集中力dP引起的应力（上节讨论过）3、将集中力引起的应力叠加（积分）：这就是分布力引起的应力4、求半平面体受均布单位力作用时的沉陷如图所示，单位力分布在长度为c的半平面体上（荷载集度为1/c），求距均布力中点I为x的任一点K的沉陷c/2c/2xc/2+xsrx-c/2drdp=dr/cBK1/cI1、取微长度dr，其上所受的力dP=dr/c可看作

7、集中力，如图，r为微集中力到K点的距离利用前述的公式（集中力引起的沉陷）c/2c/2xc/2+xsrx-c/2drdp=dr/cBK1/cI2、利用公式，由dP引起的沉陷为：s为微力到沉陷基点B之间的距离3、积分求均布力引起的沉陷取sr，即可将s看作常数，积分得其中：4、求均布力中点I的沉陷：x=0求得：5、当x/c为整数时，FKB的值可以从P91表4—1中取，沉陷仍公式仍为：将上述变形公式中的EE/（1-2）；/（1-），就得平面应变情况下沉陷公式小结1、在解决具有圆曲线边界的平面问题时，采用极坐标，极坐标与直角坐标都

8、是正交坐标，其物理量在两个坐标之间存在着教简明的转换关系，利用这种转换关系，可以很容易建立极坐标下的基本方程2、采用极坐标时，平面问题的基本方程共有八个：平衡微分方程：几何方程：物理方程：3、按应力求解平面问题，关键是要寻求应力函数