弹性力学平面问题的极坐标解答(I)

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1、第四章平面问题的极坐标解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoor

2、dinates4—4CoordinatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4—6圆环或圆筒受均布压力(P64)qaqbabHollowCylinderSubjectedtoUniformPressures例1.图示圆环或

3、圆筒，内半径为a，外半径为b，受均布内压qa和均布外压qb作用Ahollowcylinderwithinnerradiusaandouterradiusbissubjectedtointernalpressureqaandexternalpressureqb.由于结构轴对称，荷载轴对称，所以应力分量也是轴对称，直接利用公式Evidentlythestressdistributionmustbeaxisymmetrical.利用边界条件求待定常数A、B、C恒满足边界条件：qaqb考察环向位移(forcircumferentialdis

4、placement)：是多值项，对于同一r，当不同，该项有不同的值，而在此轴对称问题中，这是不可能的(P65)由上述两个边界条件不能完全确定A、B、C，因此要考虑位移单值条件NowthetwoequationsarenotsufficienttodeterminethethreeconstantsA,B,Candwehavetoconsidertheconditionofsingle-valueddisplacement.Inthehollowcylinder,thisisphysicallyimpossible.根据位移单值条件

5、，可知：B=0上述边界条件变为：最后求得：讨论只有内压或只有外压单独作用的情况a、只有内压力的作用：qb=0Ifqb=0(onlyinternalpressureqa=0acts),结论：r总为压应力，为拉应力应力分布如图所示：rqa当圆环或圆筒的外半径b时，它就成为具有圆孔的无限大薄板，或具有孔道的无限大弹性体，应力分量为risalwayscompressionandisalwaystension.Whentheouterradiusbismuchlargethantheinnerradiusa,thecyli

6、nderbecomesalargebodywithasmallcircularholeofradiusa.应力与a2/r2成正比，当ra时，应力分量很小，这也证实了圣维南原理Attheedgeofthehole(r=a),r=-qaand=-qa.Atalargedistancefromthehole,thestressesarenegligiblysmall.b、只有外压力的作用：qa=0Ifqa=0(onlyexternalpressureqb=0acts),Bothrandarealwayscompressio

7、n.应力分布如图所示：rqbThedistributionofthenormalstressesisapproximatelyshowninthefigurebelow,4—9圆孔的孔边、应力集中一、应力集中(stressconcentration)：具有小孔的弹性体，受力时孔边的应力远大于无孔时的应力或距孔边稍远处的应力，这种现象称为应力集中现象二、应力集中的原因：不是由于截面减小而使应力增大，而是由于孔的存在，孔附近的应力状态与应变状态完全改变了Effectofcircularholesonstressdistributi

8、on三、应力集中的特点：（1）局部现象：离孔越远，应力集中现象消失越快（2）应力集中程度与孔的形状有关，圆孔较小；尖角孔应力集中程度高（3）同样形状的孔，应力集中的倍数与孔的大小无关四、圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力可以用较简单