弹性力学-04平面问题的极坐标解答

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1、第四章平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡微分方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。§4-1极坐标中的平衡微分方程§4-2极坐标中的几何方程与物理方程§4-3极坐标中的应力函数与相容方程§4-4应力分量的坐标变换式§4-5轴对称应力与相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力§4-7压力隧洞§4-8圆孔的孔口应力集中§4-9半平面体在边界上受法向集中力§4-10半平面体在边界上受法向分布力主要内

2、容§4-1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xyOPABC体力：应力：PA面PB面BC面AC面应力符号规定：正应力——拉为正，压为负；剪应力——r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。xyOPABC2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：将上式化开：（高阶小量，舍去）xyOPABC两边同除以：两边同除以，并略去高阶小量：xyOPABC——剪应力互等定理两边同除以当dr,dq→0时，有于是，极坐标下的平衡微分方程为：（4－1）方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定

3、问题，需考虑变形协调条件才能求解。xyOPABC§4-2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程xyOPAB(1)只有径向位移，无环向位移。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）xyOPBA径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）剪应变为：（e）yxOPBA(2)只有环向位移，无径向位移。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸长：环向线段PB的转角：（h）

4、（i）剪应变为：（j）径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸长：（h）环向线段PB的转角：（i）剪应变为：（j）yxOPBA(3)总应变整理得：（4－2）——极坐标下的几何方程2.物理方程平面应力情形：平面应变情形：（4－3）（4－4）由于极坐标与直角坐标均为正交坐标，故物理方程具有同样形式：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知的位移分量。为边界上已知的面力分量。3.边界条件特别地，对r=常数的边界，应力边界条件简化为：对q=常数的边界，应力边界条件简化为：rlra取半径为a的半圆分析，由其

5、平衡得：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）几何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面应力情形)边界条件：位移边界条件：应力边界条件：(1)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量（4－8）rOyx§4-4应力分量的坐标变换式(2)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量（4－9）rOyx§4-3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标下应力分量与变形协调方程（相容方程）无体力情形下：应力分量式：应力函数表示的相容方程（1）极坐标下应力分量与应力函数的关系；（2）极坐标下应力函数表示的相容方程的

6、形式。本节要点：xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：（2）应力分量的坐标变换：2.极坐标下的应力分量与变形协调方程（相容方程）(a)(b)(c)再由应力分量的坐标变换式：比较以上两组表达式后，立即可得：（4－5）可以证明：式（4－5）满足体力为零时的平衡微分方程（4－1）。（3）相容方程的坐标变换：极坐标下应力分量与应力函数的关系：——直角坐标下Laplace算子在极坐标下Laplace算子的形式？(a)(b)将式(a)与(b)相加，得（3）相容方程的坐标变换：得到极坐标下的Laplace微分算子：极坐标下的相容方程为：（

7、4－6）方程（4－6）为体力为零情形的相容方程。注意：——极坐标下应力函数表示的相容方程弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:小结：（1）由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数（4－6）（2）由式（4－5）求出相应的应力分量（4－5）（3）使上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界条件：应力边界条件：对多连体，有时须考虑位移单值条件。（4）轴对称应力问题：qO(4－5)（4－6）由式（4－5）和（4－6）得应力分量和相容方程为：（4－10）应力分量：相容方程：四阶变系数的常微分方程§4-5轴对称应力与相应的位移（4－11）——轴对

8、称应力问题的应力函数，其中:A、B、C、D为待定常数。1、应力分量将方程（4-11）代入应力分量表达式（4－12）——轴对称应力的表达式对上式积分四次，得:2.位移分量对于平面应力问题，有物理方程（a）积分式（a）中第一式，有故应力轴