关于一类半环上的格林关系的若干研究.pdf

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1、2014年8月纯粹数学与应用数学Aug．2014第30卷第4期PureandAppliedMathematicsVo1．30NO．4关于一类半环上的格林关系的若干研究练利锋，任苗苗，陈益智2(1．西北大学数学学院，陕西西安710127；2．广东惠州学院数学系，广东惠』、II516007)摘要：研究了加法半群是带，乘法半群是完全正则半群的半环上的格林关系，给出了C八(￡，宠)是同余关系的充分必要条件，证明了由这些同余关系所决定的半环类都是半环簇，并给出了这些半环簇的Malcev积分解．关键词：半环；簇：同余；格林关系中图分类号：O153．3文献标识码：A文章编号：100

2、8—5513(2014)04—0420—08DoI：10．3969／．i．issn．1008一5513．2014．04．0121引言及预备知识设(S，．)是半群，若S的每个元素都是完全正则元(即对任意的a∈S，若存在X∈使得a=axa且ax=xa)则称s是完全正则半群．文献[1]深入研究了完全正则半群，并从幂等元的角度对完全正则半群进行了分类．完全正则半群的每个日一类都是群(见文献『2—3])，凰表示a所在的日一类，a0表示群日n的单位元．设(，+，·)是(2，2)一型代数，其中“+”和“．”是二元运算．若S满足下列条件：(1)(S，+)和(S，．)是半群；(2)(s

3、，+，·)满足等式x(y+)≈xy+XZ和(X+y)z≈XZ+yz；则称(．5，+，．)是半环．格林关系在半群理论发展过程中扮演着非常重要的角色，因此对格林关系的研究是有意义的．从代数角度来说，半环可以看做是由分配律联系着的同一非空集合上的两个半群，而半环的乘法半群和加法半群都有各自的格林关系，因此对半环的乘法半群和加法半群的格林关系的研究也是很有必要的．文献[4—8]对幂等元半环进行了深入细致的研究，并借助幂等元半环的格林关系研究了幂等元半环簇的C一子簇和一子簇(见文献f5—61)，得到了许多重要结论．设S是半环，若满足附加恒等式：Zn≈：(1)+X≈X：(2)收稿

4、日期：2014—5—21．基金项目：广东高校优秀青年创新人才培养计划项目(2013LYMO086)作者简介：练利锋(1989一)，硕士生，研究方向：代数学．第4期练利锋等：关于一类半环上的格林关系的若干研究421(X+)一≈X一+yn-1；则对任意的a∈S，由aan-2a=a且aa。=a=an-la，可知(S，·)是完全正则半群．因此将满足(1)，(2)，(3)这三个附加恒等式的所有半环作成的簇记为CR，并将(S，-I-)上的格林L(n，)关系记为之(壳，去)，(s，．)上的格林c(冗，)关系记为￡(诧，)．本文主要研究CR中半环上的格林关系，并给出下列各种关系的刻画

5、，证明了由这些关系所决定的半环簇都是CR的子簇，最后通过Malcev积得到了这些子簇之间的关系：{s∈CR：￡八去：△)，{s∈CR：八去：]．，{s∈CR：￡八去∈c。n(s))，{s∈CR：￡八：△)，{s∈CR：￡八c-4-：)，{s∈CR：￡八之∈c。n(s)}，{∈CR：￡八壳：△)，{s∈CR：￡八壳：)，{s∈CR：￡八壳∈c。n(s))．设S∈CR．则由文献[1]易得(s，+)和(s，．)上的之和￡可分别表示为：(v。，6∈s)n玄6甘。+6：n，6+。：6，(4)fVn，b∈S10LD{a：ab”一，b：ba一．(5)由文献f11可知，任一完全正则半

6、群S都是完全单半群的半格S=(&)，其中y与／同构，是的一类．且有引理1．1[】设S=(＆)是完全正则半群，0∈，b∈，其中，则有：(i)a。=(aba)。；(ii)acba，a冗ab；(iii)a=a(ba)。=(ab)oa．引理1．2【1]设(S．)是完全正则半群，则=是S上的同余关系．由此可见，对任意的S∈eR，是(，．)上的同余关系，也是(，+)上的同余关系．2eR中半环上的格林关系引理2．1设S∈CR．则去是S上的同余关系．证明显然去是(s，+)上的同余关系．下证去是(s，．)上的同余关系．已知去是等价关系，故只需证明去关于乘法满足相容性即可．假设。，6∈S

7、且。去6，则。+6+n：n，6+n+6：6．于是对任意的c∈S，有ac+bc+ac=(a+b+a)c=ac，6c+ac+bc=(b+a+b)c=bc，即去在(s，．)上满足右相容．对偶的，可得去在(s，．)上满足左相容．因此是(s，．)上的同余关系．引理2．2设S∈CR则一，诧一类是S的子半环．422纯粹数学与应用数学第30卷证明若a￡b，则有a=abn一1，b：60n_1，且a(a+6)：a(a+b一1a+ab一1=n+n：nfa+b)a一=a+ba一=a+b故a￡(n+6)，所以￡一类形成子半环．若n竟b，则有n：一10，6：nn一6．且(a+b