湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试数学（理）答案.doc

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1、永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案BABDCCBDBACC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．14．15．16．(1)（2分）;(2)（3分）三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（1）…………………………………………………………………3分在中，由余弦定理可得…………………………………………………………

2、……6分（2）……8分，，，，………………………………………………………10分在中，由正弦定理可得，．………………………………………………12分18．（本小题满分12分）ABCFED（第18题图）xy解：（1）证明：因为，，所以，因为，所以．又因为，，所以，而，所以，又，所以．………………6分（2）解：设直线与平面所成交的余弦值为．连接，在中，，，，所以，且，，又因为，，，所以，．在中，，，所以．如图，以点为坐标原点，分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点坐标为，，，，因为，为的中点，所以为的中点，即，设平面的法向量，，，由，即，整理得，令，得，，则．……10分因为，所以，故

3、直线与平面所成交的正弦值为．……………12分19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆过点，∴，①………2分又因为直线的斜率之积为，可求得，②联立①②得．∴所求的椭圆方程为．……………………………………………6分（2）方法1：由（1）知，．由题意可设，令x=m,得．又设由整理得：．…………………6分∵，∴，，所以，……………………………………………………8分∴，…10分要使与k无关，只须，此时恒等于4.∴……………………………………………………………………………12分方法2：:设，则，令x=m,得，∴由有，所以，要使与无关，只须，此时.∴……………………………………………………………

4、……………12分20．（本小题满分12分）解：（1）如果，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为检测结果恰有两份次品的概率．………………………3分（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为，由已知得，的所有可能取值为,=…………………5分要减少检验次数，则，则∴，，即，………………………7分（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为，，则由（2）知，，，………………10分②设这组采用混合检验的检验次数分别为，，，，，，且检验总次数，，，所以检验总次数的数学期望．…………………12分21．（本小题满分12分）证明：(1)当x∈（

5、0,1）时，f′(x)＝＞0，函数f(x)在（0,1）上为增函数．又f(0)＝-e+1<0，f(1)＝3>0，所以存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0．…4分(2)当x∈（1，2）时，,令t=2-x,x=2-t，x∈（1，2），t∈（0，1），,t∈（0，1）……………………6分记函数，t∈（0，1）．则h′(t)＝．……………………8分由(1)得，当t∈(0，x0)时，f(t)<0，h′(t)＞0，当t∈(x0，1)时，f(t)>0，h′(t)<0．故在(0，x0)上h(t)是增函数，又h(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，h(t)>0，所以h(t)在(0，x0]上无

6、零点．在(x0，1)上h(t)为减函数，由h(x0)>0，h(1)＝－ln2<0，知存在唯一t1∈(x0，1)，使h(t1)＝0，……………………………………………10分故存在唯一的t1∈(0，1)，使h(t1)＝0．因此存在唯一的x1＝2－t1∈(1，2)，使g(x1)＝g(2－t1)＝h(t1)＝0．因为当t∈(0，1)时，1＋t>0，故与g(2－t)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈（1，2），使g(x1)＝0．因为x1＝2－t1，t1>x0，所以x0＋x1<2．…………………………………………12分22．（本小题满分10分）解：（1）直线的直角坐标方程为，将，代入方程得，即

7、，…………………………5分（2）设直线的极坐标方程为，设，则，由，有，当时，的最大值为．………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）由得，解得不等式的解集为．………………………5分（2）当且仅当时等号成立，，………………………7分．当且仅当，即时等号成立．………………………10分