darcy方程稳定化有限元方法的超收敛分析

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1、第203123耄年第l24月成都大学学报(自然科学版)Vl01．32NO．4JournalofChengduUniversity(NaturalScienceEdition)Dec．2Ol3文章编号：1004—5422(2013)04—0339—04Darcy方程稳定化有限元方法的超收敛分析吕华清，陈豫眉(西华师范大学数学与信息学院，四川南充637002)摘要：利用L2投影方法对Darcy方程稳定化有限元方法做超收敛分析，得到速度与压力的超收敛．关键词：Darey问题；稳定化有限元方法；超收敛；投影中图分类号：0241．82文献标志码：AL(，q)=(f，口)+(g，q)。

2、0引言令={}是的网格尺寸为h的有限元剖利用有限元方法求解Darcy方程，要求速度与分．设cL(n)和c()／R分别表示包压力的有限元空间对满足inf-sup条件，从而确保数含速度和压力的分段多项式有限元空间．值方法的稳定性．但低阶有限元，如三角元下面给出问题(1)的有限元逼近：求(u，P)∈P，／P。(即线性／常数)，四边形元Q／P。(双线性／常X，满足，数)是不稳定的，因此不能用于实际计算中．为了克B((“^，P^)，(，q^))服inf-sup条件，有学者对Darcy方程的稳定化有限=L(，q^)，V(，q^)∈X(3)元方法¨圳进行了研究，并取得了一定进展．受相关下

3、面给出式(2)的稳定化格式：设为待定正参文献的启发，本研究利用文献[3]中提出的投影数，求(‰，P^)∈×，满足，方法对Darcy方程稳定化有限元方法做了超收敛分((Uh，Ph)，(Vh，))析．=L(，q^)，V(，q^)∈X(4)1Darcy方程的稳定化有限元其中，曰((／／,^，P^)，(，g^))考虑如下形式的Darcy方程，求“：n—R和P：=(／／,^，口^)+(7P^，zJ^)一(7g^，h)+n一尺，使得，(dr／／,^+VP^，一O'Uh+Vg^)，r+7P=厂，t(，q^){v·u=ginn，(1)【．n=0ona=(f，)+(g，qh)+／5'(f，一

4、+V)．．易知，问题(1)的精确解也满足式(4)，所以，式中，ncR是具有Lipschitz连续边界的多面体连((u一，P—)，v，g))=o,v(v，q)∈X(5)通区域．其中，f和g是给定的函数，并且，I．gdf2=设Il·Il是Sobolev空间()上的范数，定0．参数是渗透率的倒数．义，本研究使用Sobolev空间上的标准记号，设V×⋯(，q)⋯=ll+plIvqll=(力)×H()／尺，问题(1)的混合变分形式引理l【。令(u，P)∈(())X(“()为，求(，P)∈VxW，满足，n日()／R)(≥1)和(，p^)∈×分别是((，p)，(口，q))=L(v，g)，

5、V(v，q)∈VXW(2)式(2)和(4)的解，则存在与h无关的常数C，使得，其中，⋯(u一／Zh，P—Ph)IIIB((u，P)，(，g))=(Ⅱ，口)+(VP，)一≤Ch(IIⅡ+lIPIl)(6)(Vq，)，分析Darcy问题的超收敛性需要一定的正则性收稿日期：2013—10—11．基金项目：国家自然科学基金(11271390)资助项目．作者简介：吕华清(1987一)，男，硕士研究生，从事偏微分方程数值解研究成都大学学报(自然科学版)第32卷要求，对此，给出如下更一般的Darcy问题：求(／／,，P)(Rsvp—Rjp^，)：(P—P^，R)∈L()×()／R，满足，

6、得，(11,，”)+(P，)=(f，"13)(7)lIRsTp—Rll=supl(P一,Oh，Rs,o)I一(7q，11,)：(g，q)(8)考虑以下问题：求(，)E(())X式中，g∈H一是给定的函数．(()nL())(≥1)满足，假设区域足够正规以确保式(7)和(8)的解n(cn，口)+b(V，)=0，V口=(n)2(12)的／／'(s≥1)的正则性．也就是说，对任意的厂∈(一(n))和g∈／le(n)n(n)，式(7)和(8)一6(∞，q)=(助，g)，Vq=11'(g'2)(13)由式(12)和(13)可知，都有惟一的解，Ⅱ∈(())和P∈F()n彻+V=0L(n)

7、满足以下先验估计，从而，llu+l_P≤C(Il+IIgIIs-2)(9)d((，善)，(，g))=0(14)式中，C是与厂和g无关的常数．因此，式(12)和(13)的解满足，2投影((∞，)，(，q))=(R，g)，口E(n)，VqE(n)(15)投影的基本思路是把有限元解投影到另一在式(15)中，令=Ⅱ一，g=P—P^，由式个网格更为粗糙的有限元空间上】，而获取超收敛的关键就是后处理中2个网格尺寸的差异．令为(5)得，一个不同于的有限元剖分，设的网格尺寸为(P—Ph，)菏足h《假设与h之间有如下关系，=((c，