对流扩散问题新型稳定化有限元方法

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1、第一章引言指在紧邻区域边界aQ或在区域Q内部一些狭窄区域，其解或解的梯度变化剧烈．在许多由物理科学(例如空气动力学)和工程应用程序(例如化学工程)得出的偏微分方程中，边界层或内部层的存在是很常见的现象．因此，寻求能够准确模拟对流占优问题的有效数值方法，是科学工程计算中一个富有挑战性的课题，具有广泛的应用意义和科学意义．为了克服数值振荡，改善精度与稳定性，自上世纪80年代以来，一大类所谓的稳定化有限元方法被提出和深入研究，例如【8-131，或Franca等人最近的研究『14]．稳定化有限元方法是通过在标准Galerkin方法上添加一些与偏微分方程残差相关的连续变分项．例

2、如：添加泡函数的有限元方法，该方法采用标准的Galerkin形式，但是在连续分片线性元(角)或连续分片双线性元(Q1)上添加了一些合适的泡函数【15-18]．所有稳定化方法的一个共同特点是包含一些依赖网格的稳定化参数，它可以被看做是离散形式的P6clet数．显而易见，稳定化参数在稳定化方法中起着关键作用，在相当程度上，它解释了为什么那些添加的稳定项不仅可以增加稳定性，并且可以提高精度．如今，稳定化有限元方法在对流占优问题数值模拟中是非常流行的．本文中，我们将继续专注于对流占优问题，发展高效的稳定化有限元方法．在文献[19]中，Franca和Farhat提出了一个采用连

3、续分片线性元(P】)的稳定化有限元方法．在a=0的情况下，他们证明了在H1半范数下的误差阶是最优的，且不依赖于￡和a．此外，若对于所有元素丁，成立￡≤仃砖，则无需采取对偶原理，证明了在己2范数下的误差阶最优．对于快速化学反应问题(较小的时间步长)这个性质是特别有吸引力的．他们还考虑了当问题(2．1)包含对流项a．Vu时，用了一个稳定化参数来处理反应、对流、扩散这三种反应，但是没有给出理论分析．后来，Franca和Valentin在文献[20]中构建了一个新的稳定化参数，其提高了文献[19】中的稳定化有限元方法的精度．此外，从误差分析的角度证明了改进的合理性．在【21]

4、中，Duan给出了一些进一步的结果．在文献【22]中Hauke等人提出了一种新型稳定化有限元方法用于解决对流扩散反应问题．他们的方法结合两种类型的稳定项，即伴随稳定和梯度共轭稳定，涉及两个稳定化参数，它们的选择基于一维结点．最近Duan、Hsieh等人[23]提出来一种新型稳定化有限元方法用于解决对流扩散反应问题，主要专注于较小的￡和较大的O-，他们设计了一个不依赖于对流项a，且不需要进行反应、对流、扩散三项比较的确定的稳定化参数，减少了参数的计算量，并且给出了相应的误差分析．受文献【23]Duan、Hsieh等人的启发，本文中，我们将继续发展新型稳定化2第一章引言有

5、限元方法来求解对流占优问题．在第二章，介绍了对流扩散方程的形式、变分问题和常用的数学符号．在第三章，提出一个新的稳定化有限元方法，主要专注于较小扩散系数￡的情形，而反应系数a可以选取任意数值．像往常一样，我们采用连续分片线性元(蜀)且用对流扩散方程中的残差来构造稳定项．然而，我们设计了一个独特的稳定化参数．不同于[231Duan、Hsieh等人给出的稳定化参数，我们的稳定化参数根据P6clet数和Damk6hler数的大小不同而不同．在第四章，我们分析给出了有限元解‰在L2和日l范数下的误差估计．我们证明了相对于网格尺寸h，新型稳定化有限元方法在oh≥川。时，日1范数

6、下误差阶达到O(h)最优，L2范数下误差阶达到O(h2)最优；在t：rh<川p且hla[p

7、19，20，22，23】进行了比较，所有方法设置了相同的反应、对流、扩散系数和网格尺寸．大量的结果证明了我们的稳定化方法相比其他方法[18，19，21，28J是更稳定的．特别是在扩散系数较小的情况下，【19，20]的方法表现出严重的振荡行为．相比之下，我们的方法仍然执行非常好，边界层或内部层都清晰可见．3第二章对流扩散问题介绍第一节常用数学符号定义若无特别说明，本文采用索伯列夫空间常用记号[26】．一般，令m表示非负整数，用(·，·)。，丁和”

8、I。，丁表示空间日“(7’)的内积和范数．Hilbert空间：L2(Q)={f(x，Y)f以’ff(x，y