对流扩散方程的数值方法

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1、第五章对流扩散方程的数值方法胡茂彬http://staff.ustc.edu.cn/~humaobin/humaobin@ustc.edu.cn对流扩散方程求解难点对流项：流动有方向性，并且有精度、稳定性和计算耗时方面的要求压力梯度项：压力没有方向性的，采用中心差分符合物理意义，但会带来误差累积的问题[留待第六章解决]本章先假定速度已知，讨论对流项离散方法对流项离散的难点准确性：若用一阶迎风格式，与扩散项采用的二阶精度的中心差分离散格式不匹配，使整个方程的离散精度降低稳定性：若用中心差分格式不能体现对流项的物理本质，常会引起数值解的振荡经济性：若用高阶格式，无数值振荡，但格

2、式复杂，求解相对困难，机时消耗较多5.2一维稳态对流扩散问题5.2.1模型方程的精确解边界条件：精确解：Peclet数对流作用和扩散作用的比较5.2.2中心差分格式1.控制容积积分法离散采用分段线性分布移项整理结果系数网格Peclet数网格尺度上的对流、扩散作用比值系数表达为2.中心差分格式的问题常导热系数、均匀网格下例如情况适用条件有限当时，系数变成负数，会产生振荡适用条件这意味着：网格步长必须很小，或只能处理流速比较小的问题5.2.3一阶迎风格式1.积分离散和格式推演采用迎风思想：从来流上游方向找依赖区界面流量引入符号对流：扩散：系数表达式或使用网格Peclet数2.一阶迎

3、风格式评述符合对流项物理意义，离散系数恒>零，无数值振荡。得到广泛的应用。迎风思想：二阶迎风、三阶迎风和QUICK格式都很好地吸取了迎风思想：让信息主要来自流动上游方向精度差：某些国际学术刊物已对该格式提出限制在对流很强时，扩散效应已经很弱，迎风格式过渡估算了扩散作用5.2.4指数格式1．指数格式推演，根据精确解表达式对流-扩散总通量密度控制方程变为：界面上通量合并整理结果系数2．指数格式评述精确：常物性、稳态、无源、一维。适用于任何Pe数。非稳态、多维、有源，则失去其精确解的意义格式系数为指数形式，计算费时，经济性差，实际很少应用5.2.5混合格式1．混合格式提出[Spald

4、ing,1972]三条包络线混合格式三条包络线同理可得2．混合格式评述当时，与中心差分格式相同当时，为扩散项=零的迎风格式形式简单，兼有中心差分和迎风格式的优点，较为适用5.2.6乘方律格式1．乘方律格式提出和构成[Patankar]四条包络线紧凑形式2．乘方律格式评述用四条线逼近准确解，十分接近指数格式的结果，但计算量小得多比混合格式复杂，计算量增加，但准确性提高5.2.8五种三点式离散格式计算结果比较以某一点函数值在不同网格Peclet数的计算结果为例乘方律格式与准确解几乎完全吻合中心差分格式在小下与准确解符合得好，在接近2时，误差显著增大，在结果超出0和1的范围，已违反

5、物理真实性；迎风格式在所有下，解的变化趋势与准确解一致，但结果误差都较大精度只有一阶大时准确解偏离线性分布，而扩散项仍用中心差分计算在时与中心差分格式相同，在时，由于取消扩散项，比迎风格式有很大改进混合格式5.2.7五种三点式离散格式系数的统一表达形式不要求掌握有兴趣者可以去推导一下