对流扩散问题的交替方向特征有限元方法

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1、对流扩散问题的交替方向特征有限元方法谢树森(山东大学数学系，济南250100)ANALTERNATINGDIRECTIONCHARACTERISTICFINITEELEMENTMETHODFORCONVECTION-DIFFUSIONPROBLEMSXieShusen(ShandongUniversity)AbstractInthispaper>analternatingdirectioncharacteristicfiniteelementprocedureforconvection-diffusionproblemsonreta

2、nglesisgivenbyusingpatchapproximation>andtheoptimalorderL:-errorestimatesisobtained.在对流扩散方程的数值方法研究中，近年来由Douglas等人提出一种特征线修正法，并广泛应用于油藏模拟问题，核废料污染问题,半导体器件瞬态问题等领域山"“】・采用这种方法处理对流为主扩散问题时可以在不降低计算精度的情况下提高计算效率・实际问题般是多维的，无论是用有限元或是差分法进行数值解都要解高阶的代数方程组，计算是相当复杂的・因此，研究如何对多维问题进行降维处理的数值

3、方法无疑有着很重要的理论和实际意义.由算子的近似分解理论导岀的交替方向迭代法，即可以把多维问题化为一维问题迭代求解,具有存贮量少，计算效率高等优点敗"】・本文对矩形区域上的二维对流扩散方程•国家教委博士点基金资助项目.收稿日期"993-03-21・建立了一个交替方向的特征有限元格式，并给出最优阶的ZA模误差估计.但本文方法可以直接推广处理三维以上的问题.2交瞽方向有限元格式考虑问题(l.a)(l.W(l.C—~V•(a(x,i)V«)+=f(工M9GXJ;at•w(x,i)=0,Cr,£)G30XJ;_u(x,0)=uQ(x),hWG

4、其中G是R2中的有界矩形区域』=(0,T]#D=©D心m设存在正常数a・，・/,C・C,K、使(i)0Va.Ma(x9t}W/,0VC.=C(x,z)冬C*$(ii〉IIC

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6、吟w；》+II

7、

8、WK,

9、a(£J—a(S)

10、WK】

11、耳—t21*以SOM)表示过Cr,"点的特征方向，并令如“=+Jb

12、丁2,(2)则燈=C^+6・W・.(3)于是(1・4)可化为•/学一▽•(Q▽“)=/.(4)与问题(l.a)-(l.c)等价的变分问题是:黑满足(/鲁,P)+(QVWHj(fl)

13、(5.a)(u(xt0),v)=(Mo(x)yv).(5.

14、6)以&表示时间步长，Z=T、f=n•(jr)=w(x»/")»5fw"=(w"+1一;::仙4整*□刃YdsX可能会岀现sen,此时作如下延拓叫记F：RJdQ是工到a□的投影算子j是云关于f(R的对称点，令[广7(云)，〔2广n-LG〉,对若云Eg,当zv充分小时，总有所以(7〉是有意义的，且对$=o,i,2延拓(7)是H*(n)->H*(G)(CUUG)的有界线性映射.特别，若/€凤(6,令记H=S皿益，益，盂益C（°）｝・取有限元空间设n（»是疋（工）的近似函数.给出如下有限元逼近格式，求满足(D驴二y+A(?V(tr+1-t/

15、-),Vv)+(a-Vt/",Vv)+"•w-u冷，磊护=(r,p)-«c--?),v)-(?些)匚尹，心(9.a：.((7°,e)=(“q*,tO・(9・6)其中入是正常数，且A>-j-max(a)/min(c).设Mk=span{Nj,•••♦},N$=%(q)•^ff(x2),并记4=((孑"“皿))“・，B=(("▽N2M))・“，g=(G聶，聶护)，则⑼可记为矩阵形式（4+入・+"・心£）左+1=尸+Q"-1.（10）若已知则（10）右端为巳知向量，方程（10）唯一可解.如果C•是常数函数，此时取格式（9）可以进行交替方向分

16、解,若疋不是常数,一般格式（9）不能进行交替方向分解.下面利用［6］中的Patch逼近，特殊地选择使格式（9）成为可交替方向迭代的格式.记a=suPP（N.）,q•严ano,在每个n,7±°取值为(11)其中可以取a中的任意点.这样定义的?是多值的,一般为确定计，可取*为第•个网格点,多值的点取其平均值作为该点的值・（10）中系数矩阵的每一个元素只需要在a,上求积分・记心）心）(12)c-(x-)K=（（N,,NQ+込（▽N2M〉+汕2（磊捫，君护））“・（13）则可把（10）改写为(14)(D-),/xK(Z)-),/2tf-+1=

17、F"+“t.设M，・・・,N.是沿工】轴方向进行编号・％,冊2分别是工1，工2方向的节点数9rn1Xm2=m9则有K=K=•・（15）K“是块对角矩阵c-(x-)K=（（N,,NQ+込（▽N2M〉+汕2（磊捫，君护））“