奇异摄动darcy-stokes问题有限元分析的研究

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1、AthesissubmittedtoZhengzhouUniversityforthedegreeofMasterThefiniteelementAnalysisofSingularPerturbationDarcy-StokesequationByJ皿lingMengSupervisor:Prof.ShaochunChenComputationalMathematicsDepartmentofMathematicsApril,2012摘要本文主要研宄了奇异摄动Darcy-Stokes问题的有限元逼近。首先本文给出了解决本问题的一些基

2、础知识；然后构造了三种单元，并对其进行误差分析，包括非协调三角形单元，非协调矩形单元以及立方体单元，证明了各种单元对该问题的稳定性和收敛性，进而给出了有限元误差估计；最后给出了本文的一个总结。关键词：奇异摄动Darcy-Stokes问题；三角形元；矩形元；误差估计。1AbstractInthispaper,wemainlydiscussthefiniteelementapproximationforsingularpertur?bationproblemofDarcy-Stokes.Firstlywepresentsomebasicr

3、esultsforresolvingtheproblem,thenconstructthreeelementsandgivetheirerroranalysis,includingthenon?conformingtriangularelement,nonconformingrectangularelementaswellasthecubicelement,provetheirstabilityandconvergencefortheproblem,andgivethefiniteelementerrorestimates.Atlas

4、t,wegiveasummeryofthispaper.Keywords:SingularlyperturbedDarcy-Stokesproblem;Triangularelement；Rectangularelement;Erroranalysis。目录§0引言§1预备知识§2奇异摄动Darcy-Stokes问题§3Darcy-Stokes方程的几种有限元分析§4总结参考文献画111引言有限元方法是以古典变分方法（Ritz-Gderkin方法）为基础，并以分片插值多项式为工具，结合计算机发展与推广而迅速发展起来的求解微

5、分方程的数值方法问。它是由R.Courant于1943年首次提出的，并于20世纪60年代就在一切连续领域得到了广泛的应用。我国数学家冯康教授和西方科学家分别独立地奠定了有限元方法数学理论基础。由于越来越多的数学家加入了发展有限元方法的行列中，这种方法便从工程局限性中逐渐解脱出来，取而代之的是以统一的观点及严密的数学描述，并确立它的数学基础。如今，有限元方法己广泛应用于解决物理工程、工程力学、化学生物以及大规模的科学计算等领域之中。有限元方法的基本原理就是将原始问题转化为变分问题，在较弱的空间上求解，然后构造一个能逼近变分问题求解空间的

6、有限维空间，一般是将求解区域剖分成许多小片，进而构造分片多项式，最后在分片多项式组成的有限维空间上求解。有时标准有限元方法对有限元空间的光滑度要求过高，或我们所求得未知量并不是我们所需的变量，此时我们引进新的变量，则原问题变为含有两个未知量，我们称这样的变分问题为混合变分问题。奇异摄动问题是一类广泛存在于流体力学、化学生物、物理工程等研宄领域的重要问题，它在K.W.Morton(1996)[4]书中列举有详细的应用背景描述。由于此类问题的真解受奇异摄动参数的影响，而往往会出现内层或边界层效应，因此采用通常的数值求解方法在真解剧烈变化区

7、域会出现数值振荡，而得不到满意的收敛效果。在随着各种各样的数值分析方法的深入发展中，人们尝试使用不同的数值求解方法逼近奇异摄动问题求解空间，因此我们也可以说奇异摄动问题为数值分析提供了一类好的模型。奇异摄动Daxcy-Stokes问题是模拟多孔介质流和液体流动的親合问题，针对该问题当￡较大且S=0时，奇异摄动Darcy-Stokes问题即为Stokes问题[1,2，3]；当￡趋于0且/=0时奇异摄动Darcy-Stokes方程为齐次Xemnann边界条件Poisson方程的混合形式，即为Darcy方程。因为带有奇异摄动系数s,很多对S

8、tokes问题或Darcy问题收敛的有限元对Darcy-Stokes问题是不稳定的.Xue-chengTai等在[7]中分析了我们所熟知的i?r。元[9]、/?一P。元[6]、C—R元[8]、Mini元[10]等对Sto