倒立摆的奇异摄动方法建模与控制

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1、硕l二论文{到立摆的奇异摄动方法建模与控制2倒立摆系统的数学建模及可控性分析2．1基于拉格朗日方程的倒立摆模型系统建模可以分为两种：实验建模和机理建模。实验建模就是通过在研究对象上施加～系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测输出，应用系统辨识理论建立起系统数学模型。这里面包括输入信号的设计、选取、输出信号的检测、辨识算法等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等方面的专业知识和数学手段，建立描述系统运动规律的数学模型。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小

2、心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系内，应用经典力学理论建立系统的动力学方程，牛顿一欧拉方法和拉格朗日方法是两种常用的方法。其中拉格朗日方法为功能平衡法，可以避免对系统内力的分析，相对较为简单，本文采用该方法建立倒立摆的动力学方程。2．1．1一级倒立摆模型忽略系统中一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性以及传动齿轮的间隙等等，可将直线一级倒立摆抽象为小车和匀质杆组成的系统(如图2．1所示)，建立系统的数学模型。

3、图2．1一级倒立摆结构示意图本文使用固高公司的直线倒立摆系统进行仿真、实验，其参数如表2．1所示。2倒．征摆系统的数学建模及可控性分析硕：L论文表2．1一级倒立摆系统符号及参数表符号含义取值(单位)X小车相对初始位置的位移m∥摆杆与竖直向上方向的夹角radF作用在倒立摆系统上的力NU作用在摆杆上的干扰力NM小车质最1．06Kg，挖摆杆质量0．109Kg￡摆杆艮度0．5m，摆杆质心到转轴的距离0．25m3摆杆的转动惯量0．0034Kg*m26，小车的滑动摩擦系数0．1N}s／m幻摆杆转轴的滑动摩擦系数0．01N*s／tadg重力加速度9．81m

4、／s2系统的拉格朗日方程为：．L(q，香)拳T(q，口)一V(q，口)．式中，三为拉格朗日算子，g为系统的广义坐标，r为系统的动能，矿为系统的势能。拉格朗日方程由广义坐标g，和三表示为：旦f丝l-旦+旦：Q：出＼a4j)84j硇j一其中，j=s，Z?¨刀，Qj为系统沿广义坐标方向上的广义外力，D为系统的耗散能。在本系统中，假设系统的两个广义力坐标分别是x和0。系统的总动能为：．丁=气+乙其中，％，％分别为小车和摆杆的动能小车的动能：。％=亡尬2摆杆的动能：瓦=三所(丢(x-lsin0))2+i1m(鲁(x-lsinO))2+圭，分2可以得到：

5、r：三(M+m1支2一mleos0．矽．戈+三，，z，2．矽2+!，矽2系统的势能：V=mgleosO6硕=J二论文倒立摆的奇异摄动方法建模与挖制从而得到拉格朗日算子：三=三∽+聊)n历J『cos枷“丢肌一乡2+三力2一mgleos秒系统的耗散能：D：三6l戈：+!坟矽：2‘2。系统的拉格朗日方程：得到：即：丝4一OD：F一4—2,gx戤8L8Da8l(M+m)戈+blic—mlOcos0+m102sin0=FI(，+m12)痧一mglsin0一m12cos0+62毋=W戈=丙1(一(，+mz2)6I·ic+m2912cos乡sin肚mlb2

6、cos0‘·矽^．一，托，占2(，+m，2)sinp+m，c。sp’w+(J+，，z，2)‘F)(2．1)p=0、7痧2专(一m‰s鸭’戈+(M+m)mglsinO．-b2(M+m)·矽其中N=(M+m)(／+m，2)一m12cos20在平衡点附近，0≈0，则cosO=1+o(92)≈1，sin0=0+o(02)≈乡，(矽)2≈0。代入方程(2．1)n-I-得线性化后的系统微分方程：X=X戈=l(--(J+耐2)岛·文+菥∥2·9一"媲·痧+耐·w+(，+，m2)·F)乡=0．．1．目2亩(嘲坞‘戈+∽+聊)m91．O-4(M+砌·口+似+砌

7、’w+蒯’D系统的状态空间表达式为：系统的状态方程为X=AX+Ew+B2uY=CX7、，●_、、，●』钇一赫钇一．卯，，●●●●、＼，，。●，Ld一出d一凼2倒立摆系统的数学建模及可控性分析[芰]=[；]=[三三将表卧[三)bIN卧W+际数值代入式(2．2)得到一级倒立摆系统的状态空间方程为：lO-0．08830．63—0．00240l-0．235727．8569一O．10423树顾J二论文(2．2)][委]+[。三主三；2]w+[三：量三三]“。2．3，2．1．2二级倒立摆模型直线二级倒立摆的结构示意图如图2．2所示：其中固高倒立摆参数为：

8、8yD图2．2U-级倒立摆结构示意图。～一Ⅳ。耐一Ⅳm—o耐一Ⅳo肌一Ⅳ魄一。耐一Ⅳ。。等。r—o≮一Ⅳo壶苫半。～一Ⅳ。硼一ⅣO0O=1●，●●●●l●●●j．X