倒立摆系统的Lagrange方程建模与模糊控制

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1、2002年4月第23卷第4期Apr.2002Vol.23,No.4东北大学学报(自然科学版)JournalofNortheasternUniversity(NaturalScience)文章编号：1005-3026(2002)044)333-05倒立摆系统的Lagrange方程建模与模糊控制宋君烈，肖军，徐心和(东北大学信息科学与工程学院.辽宁沈阳110004)摘要：针对多变量、非线性和强綢合性的倒立摆系统，采用分析力学中的grange方程来建立其动力学方程、并提出一种基于模糊组合变匱的控制方法•研究结果表明，利用分析动力学方迭

2、来建立倒立摆系统的数学模型可以大大降低建模的复杂性.仿真研究和实际物理系统的实验结果证明了所提岀控制方法的有效性.关键词：自动控制;倒立摆；Lagrange方程；模糊控制中图分类号：TP13文献标识码：A倒立摆系统是一个典型的多变區、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统•在控制过程中能反映控制中的许多关键问题，如镇定问题⑴、非线性问题⑵、鲁棒性问题⑶、随动问题⑷以及跟踪问题等•各国专家学者在这一领域进行了长期不懈的研究利探索27】•对于倒立摆系统这样一个多变试、非线性和强耦合系统•目前还没有一个确定的方法来实现其控制问题•为

3、减少实验的有目性•通常先建立系统的数学模型，然后进行仿真研究，在此基础上进行实际系统的实验•在建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动定律,结果要解算大fit的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加AZ杂，为此本文采用分析力学方法中的Ugrangc方程⑻推导倒立摆的系统模型-Lagrange方程有如下特点.①它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式.方程式的数目和系统的自由度数是一致的.②理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分折已知的主动力，而不必分析未知的约束反力•③Lagrang

4、e方程是以能啟观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量一系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量一广义力•因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程•本文首先利用Lagrange方程建立倒立摆系统的数学模型，报据所研究对象的多变试、非线性待性，提岀一种基于模糊组合变量的挖制方法，并对所提出的方法进行了仿真研究和实际物理系统的实验，实验结果证明了该方法的有效性.1倒立摆系统数学模型的推导倒立摆系统的结构和工作原理如图1所示.倒立摆装医由沿

5、导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成•在轨道一端装有用来测就小车位移的电位计•摆体与小车之间、摆体与摆依之间由轴承连接，并在连接处有3个电位器分别用来测量下摆、中摆和上摆的角度•直流电机通过传送带控制小车的运动，从而使倒立摆稳定收稿日期：200M0-23基金项目：国家自然科学基金资助项目(69875003),作者简介：宋君烈＜1946-),男•辽宁大连人•东北大学剧教授；徐心和(1940-人男•河北山海关人•东北大学教授•博士生导帅.7r竖立在垂直位湮.建立试控对象的数学模型一妙采用牛顿力学的方法•例如文献19采用牛顿

6、力学定律来推导三级倒立摆系统的故学模型•首先分析小丰和各个摆体的受力情况，然后列岀小车和芒“卜找体在A方向和y方向的运动方程以及各摆体相对各个转轴处的转动力矩¥衡式•再逋过求解各摆依运动方程和各个转轴处的转动力矩平衡方程得到倒立摆系统的数学模型•不难看岀，此法分析复杂而且要计算大量的微分方程组.本文采用分折力学中的Lagra^e方程［叭⑴来建立倒立摆系统的数学模型•其基本假设为：①一、二、三级摆体视为刚体•②各部分的摩擦力（力矩）与相对速度（角速度）成正比•③施加在小车上的驰动力与加在功率放大器上的输入电压成正比，并且无延时地施

7、加到小车上•④皮带轮与传送带之I'可无滑动，转送带无伸长现象•于是对于同时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统的Lagrange方程应为3卫严+些十⑴.di3q,dqt込箕中为广义坐标，在本文中为小车的位移r和各摆体的角度趴、吐心讥为作用在系统上的广义力■当q^r时.F%=GoU、U为控制tt,G0为增益常数•当q严趴、02、归时，q=0;7V和D是系统的动能、势能和耗散能.分'别为St,,v=vVr>D=y;D..⑵1«Uf'D并为倒立摆的级数为小车和各级倒立摆的动能，乂为小车和各级倒立搀的弊能，D.,为小车和各级倒立摆的耗散

8、能，分别为%=£m（）/2；〔(尸+L]cos0]d

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10、+"sin2丿2；;Tj=占丿3虽屮4^3x[乔G+Lisin&i+4-}VOb6[+L2Cos^2+IycosO3)(i*+Zjcos^idj)2+Uisin0[di)