倒立摆系统模糊控制和lqr控制

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1、摘 要提出了一种利用模糊控制器进行倒立摆控制的方法，建立了倒立摆的数学模型，并进行了计算机仿真，仿真结果表明，该方案可以得到较为满意的结果。   关键词倒立摆模糊控制器计算机仿真 1引言 倒立摆小车系统如图1所示。它由质量为M的小车，长为2L的倒立摆构成。倒立摆质量为m，铰链在小车上。小车在控制函数f=u(t)的作用下，沿滑轨在x方向运动，使倒立摆在垂直平面内稳定。x=0.05m,倒立摆的角度=0.08rad。　    我们通常用状态空间法来解决多输入、输出的问题。对这个倒立摆问题我们尝试控制倒立摆的角度theta和小车的位置x。要求小车应在5s内到达

2、期望位置，并且上升时间在5s之内，同时限制倒立摆的最大角度为2°(0.35弧度)，在5s内稳定。 其中：M—小车的质量（M=1kg）;      m—倒立摆的质量（m=0.1kg）;       F—加给小车的外力；       b—小车的摩擦系数（50N/s）；    2L—倒立摆的长度（2L=2m）；       x—小车的位置。2系统分析与建模 经分析，系统的动力学方程组为：由于φ较小，系统的动力学方程组可线性化为：   计算A的极点为0，-5.1188，-2.6013，2.7476，有一个极点在右半平面，原系统是不稳定的。而根据原系统的可控性，r

3、ank(［BABA2BA3B］)=4，因而是可控的，可以任意配置系统的极点。   在matlab中，命令lqr(A,B,Q,R)可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令可计算最佳反馈增益矩阵K，并且产生性能指标：      在约束方程条件下达到极小的反馈控制律：u=-Kx。可求得：       K=［-22.3607，-30.1549，-142.8290，-52.2546］，此时系统的极点分别为-4.33082.1985i，-256330.4834i，都处于s左半平面，系统是稳定的。系统对应的响应曲线为图2所示。　    由图

4、2知线性化的系统达到了二次型最佳控制条件下的设计要求。我们再来尝试把得到的线性反馈加在原来的非线性系统中，以考察其控制的效果，这一过程在Matlab的仿真工具箱Simulink中得以实现。在Simulink中采用了模块化的设计思想，把倒立摆、小车系统精装于一个子系统模块中，这样方便了设计和调试的过程。图3是非线性系统的响应曲线。    由图3知线性反馈加在未线性化的系统上也取得了良好的控制效果，这说明了我们对原非线性系统进行的线性化工作是合理的，而且设计的线性反馈控制律是成功有效的。3模糊控制器的设计与仿真       (1)系统的结构图如图4所示。    

5、     (2)模糊控制器的结构 设计四维模糊控制器,输入变量为x，x′，θ，θ′，输出变量为u，模糊控制器的结构如下:　        (3)模糊控制器的设计    ①确定模糊控制器的输入变量为x，x′，θ，θ′，输出变量为u。  ②对倒立摆角度θ和角度变化率θ′、小车的位移和小车运动的速度x′及控制量u的模糊集及其论域定义如下：θ，θ′和u的模糊集均为{NL,NM,NS,ZE,PS,PM,PL}；x的模糊集为{NM，ZE,PM}；x′的模糊集为{N，P}。x的论域为［-1，1］，x′的论域［-3，3］，θ的论域为［-078，078］，θ′的论

6、域为［-2，2］，u的论域为［-16，16］。 ③建立模糊控制器的控制规则，用下述17条模糊条件语句来描述：   模糊量到精确量的转换方法采用最大隶属度法，模糊控制器如图5所示。　         (4)仿真结构图及仿真结果    　   由图7、图8可见，此模糊控制器对线性化前后的系统进行控制，均能达到较好的控制效果。本模糊控制器以倒立摆的角度为优先控制，从图中可看出，倒立摆在较短时间之内到达零平衡点附近，并作幅度小于0.003振荡，小车位移的控制为辅助控制，约10s后小车到达平衡点附近作小幅度振荡，其振幅小于0.2，平衡点约偏移零点

7、0.15m。4总结   本模糊控制器能较好地对系统进行控制，达到了较好的控制效果。这也说明了系统的线性化处理是相当近似的，而且本模糊控制器的设计是切实可行的。模糊控制具有鲁棒性和稳定性好、算法简单等特点，可以用在实时性要求较高的场合。     　参考文献1姜长生，孙隆和，吴庆宪，等.系统理论与鲁棒控制.北京：航空工业出版社，19982张志涌，等.精通MATLAB5.第3版.北京：北京航空航天大学出版社，20003王耀南.智能