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1、基于LQR的二级倒立摆的模糊控制摘要:本文基于模糊控制理论研究了二级倒立摆的控制问题。二级倒立摆为多变量系统,为了解决模糊控制器规则组合爆炸问题,采用LQR控制方法设计了融合函数以降低模糊控制器的输入变量维数,大大减少模糊控制的规则数,并研究了量化因子对控制效果的影响,通过设置阈值使量化因子可自动调节,进而提高模糊控制器的性能品质。仿真结果证明这种模糊控制算法规则数少,响应速度快,有良好的稳定性和鲁棒性。 关键词:二级倒立摆LQR模糊控制融合函数量化因子 :TP273:A:1007-0916(2010)09-0146-03 LQRBasedFuzzyC
2、ontroloftheDoubleInvertedPendulum CHENLi-juan1DingXiang-rong2 (1.AnhuiTechnicalCollegeofMechanical,ISO系统,随着系统的复杂化,模糊规则的总数都会随着输入变量的个数成指数增长,即“模糊规则爆炸问题”,不利于控制。本文利用LQR控制方法设计了融合函数来合并状态变量,把模糊控制器的输入变量维数减少,解决了“模糊规则爆炸问题”。但同时由于状态合并大大增加了制定模糊规则的难度,使模糊控制策略模拟人的思维、控制方法简单易行的优点丧失了。因此为模糊控制器设置了一个阈值
3、,使量化因子可根据E和EC实时改变,大大改善了模糊控制器的性能。这种模糊控制器书写简单、收敛速度快、控制效率高、保证了实时性。仿真结果证明,这种新型控制方法较传统模糊逻辑控制方法具有更好的控制效果。 2二级倒立摆系统数学建模 2.1应用Lagrange方程建立系统的动力学方程[2] 在忽略了空气流动,各种摩擦之后,可将二级倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和质量块组成的系统。二级倒立摆系统示意图如图1所示。 二级倒立摆系统中的符号参数见表1。 利用分析力学中的Lagrange方程得到二级倒立摆系统的状态空间表达式为:(1) (2) 2.2二级倒立摆系
4、统的能控性分析[3] 系统的能控性是控制器设计的前提,故在设计前进行能控性分析。由能控性矩阵(3),在MATLAB中利用可控性矩阵的ctrb命令来计算,可以得出Rank(M)=6,可知系统可控,因此可以对系统进行控制器的设计,使系统稳定。 3基于LQR的模糊控制器 在二级倒立摆的控制过程中,变量有六个:摆角1、角速度1、摆角2、角速度2、小车位置和小车速度。若采用通常形式的模糊控制器。其输入包括六个状态变量,若对每个输入变量的论域作七个模糊集的划分,这样完备的推理规则库会包含76=117649条推理规则。显然如此多的规则设计十分复杂。本文模仿人类简化问
5、题的思路,将单一的复杂控制策略转化为多级简单控制策略嵌套[4],把LQR控制理论与模糊控制策略相结合。采用融合技术设计一个线性融合函数,把多个变量融合成综合误差E和综合误差变化率EC,这就使模糊控制器的设计大为简化。这种控制器结构如图2所示。 3.1融合函数的设计 利用线性系统的输出信息具有可直接融合的特点,构造了一个线性融合函数: (1)基于LQR控制理论通过MATLAB仿真计算出一组可让二级倒立摆系统的线性模型基本稳定的状态反馈矩阵: (2)构造融合函数为: 其中。(6) (3)降维、融合成综合误差E和综合误差变化EC:。(7) 3.2模糊控制
6、器的设计[6] 由融合函数降维后,设计一个二维Mamdani型模糊控制器来实现二级倒立摆的控制。分别取E、EC作为输入量,U作为输出控制量,这就使模糊控制规则大大的简化。输入变量、输出变量都采用三角形、全交迭、均匀分布的隶属函数,如图3所示,每个变量用7个模糊子集[NBNMNSZEPSPMPB]描述。模糊控制规则如表2所示。采用重心法解模糊。 为了进行模糊化处理,还必须将模糊控制器的输入变量E和EC从基本的论域和转换到相应的模糊集的论域中。同样,每次采样经模糊控制算法给出的控制量论域,还不能直接控制对象,还必须将其转换到控制对象能接受的基本论域中去。误差的量
7、化因子、误差变化率的量化因子和控制量的比例因子分别由以下各式确定:。(8) 4仿真结果及分析 二级倒立摆系统的控制目标是:当系统达到稳定时,摆杆可保持竖直向上平衡,小车可停留在所指定位置。根据二级倒立摆线性化的状态方程构建的系统数学模型,用Simulink5.0构建仿真系统。仿真曲线如图4所示:
