奇异摄动理论引论.pdf

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1、Ch.9奇异摄动理论引论9.1多项式方程的根9.2常微分方程的边值问题介绍用于处理有边界层、双尺度问题的匹配法关键：展开式中小参数的幂次、边界层厚度、匹配19.1多项式方程的根1.一个简单问题2.一个比较复杂的问题以高次项含小参数的多项式方程为例阐明匹配法中尺度的确定方法211.一个简单问题2εεmm++=210,0<<<121忽略小项εm，得m≈−212将m表为ε的幂级数mm=−++εεm+"1221112代入比较，得m=−−−εε+"2816另一根？原因：方程是二次的，但近似方程是一次的，只有一个根32εεmm++=210,0<<<1如m很大

2、，则第一项不能忽略，但第三项可忽略−12121m+m≈−2εm=−=−−εmmεε()i21用迭代法，mi=−−,=1,2,"(1)i−εεm(1)21(2)21可得mm=−+,=−+,"εε212−ε2211m=−++ε+"ε28也可用级数法422.一个比较复杂的问题432εεxxxx+−+−210=,0<<ε<1问题：1.忽略前两项得二重根x≈1，少两个根！22.如假定这两个重根的高阶近似为xxO=++1(εε)1223代入，得εεεε[2+−+=OxO()]()01O():ε20=高阶修正？α也可作为小参数ε5432εεxxxx+−+−=2

3、10,0<<ε<124343考虑(1x−=+)εxxεx=±1εxx+ε可用于逐次迭代1/2可见方程的根应展为ε的幂级数1/224232引入a=ε，得axax+−−=(1x)02令xx=++1axa+"，代入，得12222ax(14++ax13++−++=aa"")(xx2xa)011112220−=xx11,=±2723x=±12aaO++()a72720xx−==x,x1122263432εεxxxx+−+−=210,0<<ε<1为求出另两个根，考虑x很大时假定有两项数量级相同，其它项可忽略432εεxxxx2143εεxx+=0,x=−14

4、2−1/2−−−−11/211/2εxx−=0,x=±εOOOOO()()()()(εεεε1)4−1/3−−1/32/3−1/3εxx+=20,x=−(/2)εOO()(εε1)()()(OOOε1)4−1/4OOOOO(1)(εεε1/4)(−−1/2)(1/4)(1)εx−=10,x=±εεxx32−=0,−1OOOOO()()()()(εεεε−−−−21211)x=ε3εxx+=20εx3−=10,−1/3OO()(εε−−1/31)()()(OOO2/3ε−1/31)x=ε7432εεxxxx+−+−=210,0<<ε<142(0)1

5、1(0)εxx−=0pn==,−εε22−−1迭代方程：εx−=−12xxx−ε零级近似修正项21/21/2εx−=12εεε∓∓(1)−−11/2(1)−−11/2pn=−+=εε31,−++εε31(1)13(0)13或pO=−+()ε,nO=−−+()εεε2284¾注意多重根¾展开式可能出现分数幂，可用逐次逼近法（迭代法）确定¾没有单一尺度可以表征整个解的特征99.2常微分方程的边值问题1.对一个模型方程精确解的研究2.用奇异摄动法求近似解3.匹配4.进一步的例子最高阶导数项含小参数的二阶常微分方程的近似解1051.对一个模型方程精确解的

6、研究2dydy考虑方程εε+20+=y,01<<<2dxdxyy(0)==0,(1)1eemx12−mx精确解：y=eemm12−可忽略2其中mm,为特征方程εmm+210+=的根1212当ε很小时，mm≈−≈,−122ε1/2−−xx/22/εyx(,)εε≈−

7、=0时括号内两项相等，随x增大第二项急剧减小(1−x)/2当x增大到ε的几倍后，第二项可以忽略，得ye≈在x=0附近厚度为O()ε区域出现边界层(1−x)/2满足x=1处边界层外部的解称为外解：ye≡0边界条件126131/2−−xx/22/εye=(1−x)/2yx(,)ε≈−ee(e)0(1−x)/2可证lim(,)yxε==eyx(),x∈(0,1]0ε↓0limlim(,)⎡⎤yxε==y(0)e1/20x↓↓00⎣⎦ε但limlim(,)⎡⎤yxε=0ε↓↓00⎣⎦x两个极限运算不能交换，y(,)xε在区间(0,1]中并不一致收敛，yx

8、()在(0,1]中不一致有效0147内部近似边界层厚度为O()ε，因此可以用ε作为边界层内的尺度。如令x=ξε，则ξ给出了自变量在边界层