带有阻尼项的定常Stokes方程的低阶非协调混合有限元方法的超逼近和超收敛分析-论文.pdf

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1、俐㈨程黝诎数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．cn带有阻尼项的定常Stokes方程的低阶非协调混合有限元方法的超逼近和超收敛分析丰1石东洋2于志云(1郑州大学数学系郑州450001；2中原工学院理学院郑州450007)摘要：用带约束的非协调旋转Q1元和分片常数元来逼近定常的、不可压带有阻尼项的Stokes方程的速度和压力．证明了逼近解的存在惟一性．再利用精确解和逼近解的先验估计，并恰当选择参数o，∥和r，得到了最优误差估计及超逼近结果．最后，通过插值后处理技术，导出了速度的日1一模和压力L2一模的O(h2)阶的整体超收敛．关键词：Stokes方程；阻尼项；非协

2、调混合元；超逼近和超收敛；最优误差估计．MR(2000)主题分类：65N30；65N15中图分类号：0241．2文献标识码：A文章编号：1003—3998(2013)04-735—111引言众所周知，偏微分方程的有限元解在区域的某些子区域具有超收敛性质[1-3】．为了确保超收敛的存在性，其关键任务在于寻找剖分区域和偏微分方程解的光滑性假设所要满足的条件．譬如：文献[4一lo】已对椭圆方程、Stokes方程、Navier—Stokes方程、抛物方程、积分方程及积分微分方程等进行了超逼近和超收敛性分析．然而，对于下面的二维定常带有阻尼项的Stokes方程至今未见到关于协调元或非协调元

3、的超收敛性分析的报道⋯一vAu+QIuIr--2u+Vp=，，inQ(1)divu=0．onQ．(2)U=0．onaQ．(3)其中U=(Ul，U2)是流体速度，P是压力，，是体积力．阻尼项中10．／2是粘性系数．此方程广泛应用于数学物理学，地球物理学和海洋音响学等领域[11--12】．阻尼项来自于对流体运动的阻碍作用，它刻画不同物理性质的流体，例如，多孔介质内的流动，大气流动中地表附近的阻力及一些耗散特性【13]．一些研究已经开始关注带有阻尼项的问题．文献[14】收稿日期：2011—05—30；修订日期：2012—12—12E-mail：shi_dy@zzu．edu

4、．cn；yu—．1110@126．com$基金项目：国家自然科学基金(10671184，10971203，11271340)、高等学校博士学科点专项科研基金(20094101110006)、国家青年基金(11101384)和河南省基础与前沿技术研究计划项目(122300410208)资助736数学物理学报V01．33A指出对于线性的双曲问题，阻尼项可以导致问题的解在有限时间内爆破．文献f15]研究了当粘性系数趋于零时，带有线性阻尼项OLU的二维Navier—Stokes方程解的长时间性态．当右端项，具有不同的正则性时，文献『16171分别研究了带有线性阻尼项的Navier—Sto

5、kes方程的大时间性态．文献[1819]考虑了带有非线性阻尼项Qlurlu(r>o)的三维Navier—Stokes方程的大时间性态．文献[20]从数值分析的角度，对方程(1)(3)，采用协调混合元进行逼近，证明了弱问题和逼近问题解的存在惟一性，并进行了收敛性分析且给出任意阶的误差估计．由于非协调元易于构造满足LBB条件且具有很好的稳定性已被有效地应用到有限元解的超逼近和超收敛性分析．如椭圆问题[21-22]，粘弹性方程[23]，时谐的Maxwell’S方程[24]及Stokes方程[25-2s]等．本文在矩形网格下用具有最低阶自由度的带约束的Qi“一Qo元[27-29]逼近方程

6、(1)一(3)．首先证明逼近解的存在惟一性，其次利用精确解和逼近解的先验估计，并恰当选择在方程(1)一(3)中出现的参数Ol、∥和r，得到了速度的日1一模及压力L2一模的最优误差估计及超逼近结果．最后，通过插值后处理技术，导出了速度的日1一模及压力L2一模的O(h2)阶的整体超收敛．由于阻尼项Qlur2的存在，方程(1)(3)是一个非线性问题，故本文所采用的方法与讨论Stokes问题的文献『25—281相比有很大不同，证明难度更大．而且可以验证本文所得的收敛性结果完全适用于文献f3036]中所讨论的常用的非协调元，但超逼近和超收敛结果并不成立(见注1和注2)．另外，可以验证凡是能

7、用于Stokes问题的混合协调元逼近所得到的超收敛结果都能推广到方程(1)(3)(见注3)．2混合变分形式及单元构造问题(1)(3)混合变分形式为：求(U，P)∈X×M，使得o(u；u，V)+b(v，P)=(f，V)，Vv∈Xb(u，q)=0，Vq∈M(5)其中x=(日3(Q))2，M=L02(Q)={vEL2(Q)：上池蚧ao(u，v)=v(Vu，Vv)，01(w；u，v)=a(1wl’2u，v)，o(w；U，V)=ao(u，V)+al(w；u，V)，b(v，q)=一(q，di