圆的切点弦方程的九种求法.doc

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1、圆的切点弦方程的解法一、预备知识：1、在标准方程下过圆上一点的切线方程为：；在一般方程（）下过圆上一点的切线方程为：。2、两相交圆（）与（）的公共弦所在的直线方程为：。3、过圆（）外一点作圆的切线，其切线长公式为：。4、过圆（）外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：（在圆的标准方程下的形式）；（在圆的一般方程下的形式）。二、题目已知圆外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：即由消去并

2、整理得①令②解②得或将或分别代入①解得、从而可得A(,)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。4解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：即由圆心C(1,2)到切线的距离等于圆的半径3，得③解③得或所以切线PA、PB的方程分别为：和从而可得切点A(,)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法三：用夹角公式求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为，根据已知条件可得

3、PC

4、=，，在中，

5、PA

6、=5，由夹角公式，得④解④得或

7、所以切线PA、PB的方程分别为：和从而可得切点A(,)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点如图示1，根据已知条件可得

8、PC

9、=，，在中，

10、PA

11、=5，AHPC，从而可得由定比分点公式，得H(,)4又因为再根据点斜式方程得直线AB的方程为：。解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一如图示2，因为

12、PA

13、=

14、PB

15、，所以直线AB就是经过以P为圆心

16、PA

17、为半径的圆C`与圆的交点的直线，由切线长公式得

18、PA

19、=所以圆C`的方程为根据两圆的公共弦所在的直线方程，得即直线AB的方程为：。解法

20、六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二如图示3，因为PACA，PBCB，所以P、A、C、B四点共圆，根据圆的直径式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方程为即根据两圆的公共弦所在的直线方程，得即直线AB的方程为：。解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义设切点A、B的坐标分别为、，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为和因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得⑤由式⑤知，直线经过两点A、B，所以，直线AB的方程为：。解法八：直接运用圆的切点弦方程因为P（-4，-1）是圆外一点，根据切点弦所

21、在直线的方程得4整理得，直线AB的方程为：。解法九：运用参数方程的有关知识如图4，将圆的普通方程化为参数方程：（其中为参数）设切点A的坐标为（，），由PACA得化简，整理得⑥又因为可设直线AB的方程为，将点A（，）代入并整理，得⑦由式⑥和⑦知，，从而得所以，直线AB的方程为：4