常见曲线的切点弦方程

《常见曲线的切点弦方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、万方数据2009年第3期5常见曲线的切点弦方IM．周顺钿(浙江省杭州高级中学，31000B)(本讲适合高中)切点弦方程是解析几何中的热点问题．随着导数的引入，它的内涵更加深刻、题型更加丰富．本文对切点弦问题进行归纳整理，以飨读者．1知识简介(1)圆的切点弦方程命题1过圆C：菇2+Y2=r2外一点M(菇。，Y。)作圆的两条切线MA、MB．则切点弦AB所在的直线方程为X,0菇+YoY=r2．证明：因为OAJ．MA，OB_LMB，所以，0、A、M、B四点落在以OM为直径的圆菇(戈一zo)+Y(Y—Yo)=0上，它与圆C的公共弦即为AB．两圆方程相减；得切点弦AB所在的

2、直线方程为x,o髫+YoY=r2．(2)椭圆的切点弦方程'2命题2过椭圆C：冬+告=1外一点收稿日期：加吣一09—08修回日期：2ID∞一11—29肘(X0，Yo)作椭圆的网条切线MA、MB．则切点弦AB所在的直线方程为等+掣：1．口0证明：设A(茹l，Y1)、日(髫2，Y2)．将方程享+豢=l两边对菇求导得擎+簪∥-o．于是，切线删的方程为y—Yt：一些(髫一菇I)，y一2一—a2—YlL髫一菇‘J，即寻(X--X1)+祭(y—Yi)=0．化简得k：等+丁YlY=1．特别地，当Yl_0时，上式也成立．同理，‰等+辔0=1．口又M(菇o，Yo)在直线似、MB上，

3、则等+警=·，等+爷=1．叠新等式表示点A(菇，，Y1)、B(茗，，仍)都(提示：设六位数为764at圮．令M=7+4+b=11+b，N=c+口+6．贝0口6c被8一整除，舾+N=17+口+b+f被9整除，肘一N=5+b一口一c被11整除．易知17≤M+Ⅳ≤44，一13≤肘一Ⅳ≤14．故Jjl

4、f+N=18，27，36，肼一N=一11，0，11．穷举得唯一解764280．)5．用0，l，⋯，9组成能被11整除的不含重复数字的十位数．求其中的最大数与最小数．、(提示：设十位数为A=i瓦瓦．令菇=Xl+髫3+z5+髫7+菇9，Y=髫2+X4+菇6+戈8+髫lo．贝4

5、11I(髫一Y)．而10≤髫、Y≤25，因此，I茹一Yl=0，11，22．因)b石l，菇2，⋯，菇lo是0，l，⋯，9的一个排列，所以，茹l+菇2+⋯+菇lo=45，即茗+Y=45．而茹一Y与菇+Y同奇偶，于是，菇一y是奇数．所以，并一Y=±11．解得(茗，Y)=(28，17)或(17，28)．进而得A一=9876524130，Am=1024375869．)万方数据6中等数学在直线等+等=1上，也说明此直笺即为切点弦AB所在的直线方程．注：这种通过类比而得到切点弦方程的证明方法通常称为“设而不求”．命题1也可用此方法证明．(3)双曲线的切点弦方程命题3过双曲线c

6、：之一告=1外一点M(‰，Yo)作双曲线的两条切线MA、MB．则切点弦AB所在的直线方程为等一等：1．(4)抛物线的切点弦方程命题4过抛物线C：Y2=2px(p>0)外一点M(粕，Y。)作抛物线的两条切线MA、MB．则切点弦AB所在的直线方程为YoY=p(髫+戈o)．(5)反比例函数的切点弦方程命题5过反比例函数c：Y=旦(k≠0)的图像(等轴双曲线)外一点M(‰，Yo)作它的两条切线MA,MB．则切点弦AB所在的直线方程为990Y+Yox=2k．(6)hike曲线的切点弦方程命题6过hike曲线C：Y=髫+旦(后>0)外一点M(粕，Yo)作nike曲线的两条切

7、线MA、MB．则切点弦AB所在的直线方程为(如一2菇o)菇+龙oY=2k．注：仿命题2的证明可证命题3,4、5、6．对于一般二次曲线，有下面的定理．定理对于二次曲线的一般方程舭2+脚+何2+眈+巧+F=0，①过曲线外一点M(菇。，Yo)作曲线的两条切线MA、MB．则切点弦AB所在的直线方程为‰川·掣掣+‰y+D．学廿学+，-o．证明：设A(石l，Y1)、B(z2，Y2)．将方程①两边对髫求导得·(2Ax+尽，，+JD)+(2Cy+圆拓+E)y7=0．于是，切线MA的方程为(2Axl+最n+D)(搿一名1)+(2Cyl+B暂l+E)(Y—Y1)=0．化简整理得(2

8、Axl+旦'，l+D)x+(2Cyl+胃kl+E)y一(2Ax：+2凰IYl+2研+眈1+毋l+，)=o，即(2Axl+后吵l+n)x+(2Cyl+凰l+g)y+少l+毋l+F=0，也ep(2,4_x+B步+D)x1+(2Cy+觑+E)yI+眈+毋+F=0．同理，切线MB的方程为(2Ax+母，，+D)x2+(2Cy+胃k+E)y2+眈+毋+F=0．又M(‰，Yo)在直线MA、MB上，则(2Axo+8yo+D)xl+(2Q№+丑‰+s)yI+Dko+Eyo+F=0，(2Axo+置‰+D)x2+(2Cyo+Bxo+E)y2+隗o+Eyo+F=0．这两个等式表示点A(

9、省，，Y。)、B(x：，