常见曲线的切点弦方程.pdf

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1、2OO9年第3期5常见曲线的切点弦方程周顺钿(浙江省杭州高级中学，310003)(本讲适合高中)(Xo，，，o)作椭圆的两条切线MA、MB．则切切点弦方程是解析几何中的热点问题．点弦AB所在的直线方程为+=1．随着导数的引入，它的内涵更加深刻、题型更口D加丰富．本文对切点弦问题进行归纳整理，以证明：设A(l，YI)、B(2，Y2)．飨读者．将方程+=l两边对求导得el,D1知识简介2x+·Y=0．(1)圆的切点弦方程命题1过圆C：一+Y=r外一点于是，切线MA的方程为(‰，Yo)作圆的两条切线MA、／fiB．则切点Y—一Yl：一(—一X,1)，’弦AB所在的直线方程为X,0x+yoy

2、=r．证明：因为OA上MA，OB上MB，所以，即(一。)+鲁()，一Y1)=0．0、A、M、B四点落在以OM为直径的圆(—o)+Y(Y—Yo)：0化简得IMA：+=1．t‘￡，上，它与圆C的公共弦即为AB．特别地，当y。：0时，上式也成立．两圆方程相减，得切点弦AB所在的直线方程为X,0+Yoy=r．同理，+=1．口0(2)椭圆的切点弦方程22又M(x。，Yo)在直线MA、MB上，则命题2过椭圆c：+=1外一点口+警O：1，X,口0X,2+YoDY2：1．收稿日期：2008—09—08修回It期：2008—11—29这两个等式表示点A(．)、(，)都(提示：设六位数为764．令=7+

3、4(提示：设十位数为A=．：⋯。。．令+b=11+b，N=C+0+6．贝0abc被8整除，：l+X3+9C5+7+X9，y=2+4+6++N=17+a+b+c被9整除。一^f=8+l0．贝411I(—y)．而l0≤、y≤25，因5+b一口一c被11整除．易知17≤+Ⅳ≤此，I一YI=0，11，22．因为I，2，⋯，10是44，一13≤肘一，v≤14．故+N=18，27，36，0，1，⋯，9的一个排列，所以，l+2+⋯+肼一Ⅳ：一11，0，11．穷举得唯一解764280．)Io=45，即+y：45．而一)，与+Y同奇5．用0，l，⋯，9组成能被11整除的不含偶，于是，一，，是奇数．所以

4、，一，，=±11．重复数字的十位数．求其中的最大数与最解得(，Y)=(28，17)或(17，28)．进而得A一小数．=9876524130，Am=1024375869．)6中等数学(2Ax+y+D)+(2cr+启+E)y=0．在直线+：1上，也说明此直线即为ⅡU’于是切线MA的方程为切点弦AB所在的直线方程．(2Axl+B)，t+D)(—I)+注：这种通过类比而得到切点弦方程的(2CyI+l+)(Y—Y1)=0．证明方法通常称为“设而不求”．命题1也可化简整理得用此方法证明．(2Axl+y．I+o)x+(2Cyl+l+E)y一(3)双曲线的切点弦方程(2Ax+2／hlYl+2Cy+l

5、+l+F)=0，命题3过双曲线C：x一=l外一点即(2Axl+yl+o)x+(2Cyl+觑I+E)y+Ut，M(。，Y。)作双曲线的两条切线MA、MB．则1+I+F=0，也即(2A+县ly+O)xl+(2Cy+B+E)yl+切点弦AB所在的直线方程为一：1．“(，D％+Ey+F=0．(4)抛物线的切点弦方程同理，切线MB的方程为命题4过抛物线C：Y=2px(P>0)外(2Ax+y+o)x2+(2Cy+B+E)y2+一点M(。，Y。)作抛物线的两条切线MA、++F=0．MB．则切点弦AB所在的直线方程为又M(。，Y。)在直线MA、MB上，则Y0Y=P(+o)．(2Ax0+e,yo+O)

6、xl+(2Cyo+Boco+E)yI+(5)反比例函数的切点弦方程0+o+F=0，命题5过反比例函数C：Y=(k≠0)(2Axo++o)x2+(2Cyo+Bxo+E)y2+0+o+F：0．的图像(等轴双曲线)外一点M(。，Y。)作它这两个等式表示点A(x。，Y。)、B(x：，Y：)都的两条切线MA、MB．则切点弦AB所在的直在直线线方程为XOY+Yo=2k．(2Axo+yo+o)x+(2Cyo+0+E)y+(6)nike曲线的切点弦方程0+o+F=0命题6过nike曲线C：Y=+(k>0)上，整理得外一点M(。，Y。)作nike曲线的两条切线Ax。+B·兰+Cy。y+MA、MB．则切

7、点弦AB所在的直线方程为(Yo一2x())+0Y2k．D·+E·+F：0，注：仿命题2的证明可证命题3、4、5、6．也就是说，此直线即为切点弦AB所在的直对于一般二次曲线，有下面的定理．线方程．定理对于二次曲线的一般方程+Bxy++++F=0，①2例题选讲过曲线外一点M(。，Y。)作曲线的两条切线例1设P、Q为圆周+Y=l上两动MA、MB．则切点弦AB所在的直线方程为点，且满足与圆内一定点A(0，1)，~．／PAQ,lt~oX+·+oy+O·学坩学0．=．