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1、切点弦方程圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用作者:吴时清薛青丽联系方式:13450376718时间:2013.6.17切点弦方程是解析几何中的热点问题,也是高考命题热点之一.随着导数的介入,它的内涵更加丰富,本文从圆锥曲线的切点弦定义入手,对圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中常见的曲线的切点弦方程进行证明,再到一般的圆锥曲线的切点弦方程的结论,以及切点弦方程在近年来高考中的应用.一、切点弦方程的概念平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.二、圆的切点弦方程证明:设圆外一点,
2、过点作圆的的两条切线,切点是,则直线的方程是:.证明:由平面几何知识易知,弦是圆与以为直径端点的圆的相交弦.以为直径端点的圆的方程是:,即……①又…………………………………②②-①得:.三、椭圆、双曲线、抛物线的切点弦方程设是圆锥曲线不含焦点部分外的一点,过点作曲线的两条切线,切点,则切点弦所在直线方程如下表:方程曲线标准方程切点弦方程椭圆双曲线抛物线四、二次曲线的切点弦方程设从点引曲线的两条切线,切点为,则过的且线方程分别是:,因为点在上述两条切线上,所以满足方程第6页共6页切点弦方程………………（*
3、*）所以经过的直线方程是（**）五、利用切点弦方程解高考题【例1】2008年山东理科数学22题如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：由题意设由得，则所以因此直
4、线MA的方程为 直线MB的方程为所以①②由①、②得 因此 ，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得： 第6页共6页切点弦方程 所以 x1、x2是方程的两根，因此又所以由弦长公式得 又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+x2,y1+y2),则CD的中点坐标为 设直线AB的方程为 由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上， 代入得 若D（x3,y3）在抛物线
5、上，则 因此 x3=0或x3=2x0.即D(0，0)或（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.（2）当，对于D(0，0)，此时第6页共6页切点弦方程 又AB⊥CD，所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以 直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.【例2】2008年江西高考数学理设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点为,定点.⑴过点作直线的垂线,垂足为,试求的重心所在曲线的方程;⑵求证:三点共线.
6、解:⑴设,∵垂直于直线,则∴,点坐标为设的重心为,则代入双曲线方程并整理得:,∴重心的轨迹方程为第6页共6页切点弦方程⑵设点,方程对求导得:∴∴切线的斜率为,方程为,又∴切线的方程为同理:切线的方程为,又在,上,∴即点都在直线上,又也在直线上∴三点共线.【例2】2013年广东高考理20题已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线：的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．解:（Ⅰ）依题意，
7、设抛物线的方程为，由结合，解得．所以抛物线的方程为．（Ⅱ）抛物线的方程为，即，求导得设，（其中），则切线的斜率分别为，，所以切线的方程为，即，即同理可得切线的方程为因为切线均过点，所以，所以为方程的两组解．所以直线的方程为．（Ⅲ）由抛物线定义可知，，所以联立方程，消去整理得第6页共6页切点弦方程由一元二次方程根与系数的关系可得，所以又点在直线上，所以，所以所以当时，取得最小值，且最小值为．第6页共6页
