圆的切点弦求法与四点共圆复习1

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1、(3)双曲线的切点弦方程(1)圆的切点弦方程4)抛物线的切点弦方程5椭圆的切点弦方程圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。一、预备知识：1、在标准方程下过圆上一点的切线方程为：；在一般方程（）下过圆上一点的切线方程为：。2、两相交圆（）与（）的公共弦所在的直线方程为：。3、过圆（）外

2、一点作圆的切线，其切线长公式为：。4、过圆（）外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：（在圆的标准方程下的形式）；（在圆的一般方程下的形式）。二、题目已知圆外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：即5由消去并整理得①令②解②得或将或分别代入①解得、从而可得A(,)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法二：用圆心到切线的距离等于

3、圆的半径求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：即由圆心C(1,2)到切线的距离等于圆的半径3，得③解③得或所以切线PA、PB的方程分别为：和从而可得切点A(,)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法三：用夹角公式求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为，根据已知条件可得

4、PC

5、=，，在中，

6、PA

7、=5，由夹角公式，得④解④得或所以切线PA、PB的方程分别为：和从而可得切点A(,)、B(1,-1)，5再根据两点式方程得直线AB的方程

8、为：。解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点如图示1，根据已知条件可得

9、PC

10、=，，在中，

11、PA

12、=5，AHPC，从而可得由定比分点公式，得H(,)又因为再根据点斜式方程得直线AB的方程为：。解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一如图示2，因为

13、PA

14、=

15、PB

16、，所以直线AB就是经过以P为圆心

17、PA

18、为半径的圆C`与圆的交点的直线，由切线长公式得

19、PA

20、=所以圆C`的方程为根据两圆的公共弦所在的直线方程，得即直线AB的方程为：。解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二如图示3，因为PACA，

21、PBCB，所以P、A、C、B四点共圆，根据圆的直径式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方程为即根据两圆的公共弦所在的直线方程，得即直线AB的方程为：。解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义设切点A、B的坐标分别为、，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为和因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得⑤由式⑤知，直线经过两点A、B，所以，直线AB的方程为：。5解法八：直接运用圆的切点弦方程因为P（-4，-1）是圆外一点，根据切点弦所在直线的方程得整理得，直线A

22、B的方程为：。解法九：运用参数方程的有关知识如图4，将圆的普通方程化为参数方程：（其中为参数）设切点A的坐标为（，），由PACA得化简，整理得⑥又因为可设直线AB的方程为，将点A（，）代入并整理，得⑦由式⑥和⑦知，，从而得所以，直线AB的方程为：四点共圆　　证明四点共圆的基本方法　　证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1　　从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2　　把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(

23、同弧所对的圆周角5相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）方法3　　把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4　　把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯

24、定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）方法5　　证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．　　上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明