高考数学 圆的切点弦方程的九种求法知识点分析

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1、圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。一、预备知识：1、在标准方程下过圆上一点的切线方程为：；在一般方程（）下过圆上一点的切线方程为：。2、两相交圆（）与（）的公共弦所在的直线方程为：。3、过圆（）外一点作圆的切线，其切线长公式为：。4、过圆（）外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：（在圆的标准方程下的形式）；（在圆的

2、一般方程下的形式）。二、题目已知圆外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：即由消去并整理得①令②解②得或将或分别代入①解得、从而可得A(,)、B(，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：即由圆心C(1,2)到切线的距离等于圆的半径3，得③解③得或所以切线PA

3、、PB的方程分别为：和从而可得切点A(,)、B(，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法三：用夹角公式求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为，根据已知条件可得

4、PC

5、=，，在中，

6、PA

7、=5，由夹角公式，得④解④得或所以切线PA、PB的方程分别为：和从而可得切点A(,)、B(，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点如图示1，根据已知条件可得

8、PC

9、=，，在中，

10、PA

11、=5，AHPC，从而可得由定比分点公式，得H(,)又因为再根据点斜式方程得直线AB的方程为：。解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一

12、如图示2，因为

13、PA

14、=

15、PB

16、，所以直线AB就是经过以P为圆心

17、PA

18、为半径的圆C`与圆的交点的直线，由切线长公式得

19、PA

20、=所以圆C`的方程为根据两圆的公共弦所在的直线方程，得即直线AB的方程为：。解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二如图示3，因为PACA，PBCB，所以P、A、C、B四点共圆，根据圆的直径式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方程为即根据两圆的公共弦所在的直线方程，得即直线AB的方程为：。解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义设切点A、B的坐标分别为、，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为和

21、因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得⑤由式⑤知，直线经过两点A、B，所以，直线AB的方程为：。解法八：直接运用圆的切点弦方程因为P（-4，-1）是圆外一点，根据切点弦所在直线的方程得整理得，直线AB的方程为：。解法九：运用参数方程的有关知识如图4，将圆的普通方程化为参数方程：（其中为参数）设切点A的坐标为（，），由PACA得化简，整理得⑥又因为可设直线AB的方程为，将点A（，）代入并整理，得⑦由式⑥和⑦知，，从而得所以，直线AB的方程为：