高中数学：高考综合复习专题之导数及其应用（八）旧人教版.doc

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1、数学高考综合复习专题之导数及其应用八　8函数在区间内可导，导函数是减函数，且，设，是曲线在点处的切线方程，并设函数　　（Ⅰ）用、、表示m；　　（Ⅱ）证明：当时,　　（Ⅲ）若关于x的不等式在上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。　　解答：　　（I）在点处的切线方程为　　即　　因而；　　(Ⅱ)证明：令，则　　因为递减，所以递增,因此，当时，；当时，，　　所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0　　因此0即；　　（Ⅲ）　　解法一：用心爱心专心是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。　　

2、，即对任意成立的充要条件是，　　另一方面，由于满足前述题设中关于的条件，　　利用(Ⅱ)的结果可知，的充要条件是：过点与曲线相切的直线的斜率不大于，　　该切线的方程为：，　　于是的充要条件是　　综上，不等式对任意成立的充要条件是　　　　　　　　①　　显然，存在使①式成立的充要条件是：不等式　　　　②　　有解，解不等式②得　　　　　　　　③　　因此，③式即为的取值范围，①式即为实数与所满足的关系。　　（Ⅲ）　　解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。　　，即对任意成立的充要条件是　　令，于是对任意成立的充要

3、条件是。　　由得　　当时，；当时，，所以，当用心爱心专心时，　　取最小值。因此成立的充要条件是，即　　综上，不等式对任意成立的充要条件是　　①　　显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式　　　　　　　　　　②　　有解，解不等式②得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③　　因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数a与b所满足的关系。　　点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问

4、题的能力。对（Ⅰ），曲线在点处切线斜率为，切线方程为，　　即，因而；对（Ⅱ）即证明在时恒成立，构造函数则　　∵　　∴　　∴，则　　由递减　　∴递增，则当时，当时，，　　则是的极值点，且为极小值点，　　所以极小值为，即恒成立，　　　　因而；对（Ⅲ用心爱心专心）有两种思考方法，是该题难点，其求解过程比较详细。　　9．设点和抛物线其中由以下方法得到：，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离，…，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离。　　（Ⅰ）求及的方程；　　（Ⅱ）证明是等差数列。　　解答：　　（Ⅰ）由题意得　　设

5、点是上任一点　　则　　令　　则　　由题意得：　　即　　又在上，∴　　解得　　故方程为：　　（Ⅱ）设点是上任意一点。　　则用心爱心专心　　　　令　　　　由题意得　　即　　又∵点在上　　∴　　∴　　即　　下面用数学归纳法证明：　　①当n=1时，，等式成立。　　②假设n=k时，等号成立，即　　则当n=k+1时，由（*）知：　　又　　∴　　即当n=k+1时，等式成立　　由①②知，等式成立　　∴是等差数列　　点评：　　（Ⅰ）设为上任一点　　∵，换句话说：在点处取得最小值。　　用心爱心专心　　令　　∴此为关键　　（Ⅱ）方法同（Ⅰ

6、）推导出：然后用数学归纳法证明。　　10.已知函数　　（Ⅰ）求函数的反函数及的导数；　　（Ⅱ）假设对任意，　　不等式成立，求实数m的取值范围。　　解答：　　（Ⅰ）解：由，得，　　所以　　　　（Ⅱ）　　解法1由，得　　　　即对于恒有　　　　　　　　　　①　　设，于是不等式①化为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②　　当，、用心爱心专心时，　　，　　，　　所以都是增函数。　　因此当时，的最大值为的最小值为　　而不等式②成立当且仅当，即，　　于是得　　解法2：由，得　　，　　设，　　于是原不等

7、式对于恒成立等价于　　　　　　　　③　　由，，　　注意到，故有，，　　从而可知与均在上单调递增，　　因此不等式③成立当且仅当，即用心爱心专心