高中数学：高考综合复习专题之导数及其应用（四）旧人教版.doc

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1、数学高考综合复习专题之导数及其应用四　　例4、在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。　　解：　　（1）　　∴当时，取得最小值-13　　又当时，　　∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；　　（2）证明：设为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为　　且有　　　　　　　　　　　　①　　∴将代入的解析式得　　　　　　　　，　　∴点坐标为方程的解　　∴　　注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。　　例5、已知曲线，其中用心爱心专心，且均为可导函数，　　求证：两曲线在公共点处

2、相切。　　证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，　　设上述两曲线的公共点为，则有　　，，　　∴　　，　　　　　　　　　　∴，　　∴，　　　　　　　　　　∴　　于是，对于有；　　　　①　　对于，有　　　　②　　∴由①得　　，　　由②得　　　　　　　　∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，　　∴两曲线在公共点处的切线重合　　∴两曲线在公共点处相切。　　例6、　　（1）是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；　　（2）若恰有三个单调区间，试确定用心爱心专

3、心的取值范围，并求出这三个单调区间。　　解：　　（1）　　由题意，当时，当x∈(2,+∞)时，　　∴由函数的连续性可知，　　即　　整理得　　解得或　　验证：　　（Ⅰ）当时，　　∴若，则；若，则，符合题意；　　（Ⅱ）当时，　　，　　显然不合题意。　　于是综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。　　（2）　　若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；　　若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；　　若，则　　并且当时，用心爱心专心；　　当时，　　∴综合可知，当时，恰有三个单调区间：　　减区间；增区间　　点评：对于（1），

4、由已知条件得，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。　　例7、已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.　　（1）求常数的值；　　（2）求的极值。　　解：　　（1），　　令得方程　　∵在处取得极值　　∴或为上述方程的根，　　故有　　∴，即　　　　①　　∴　　　　　　又∵仅当时取得极值，　　∴方程的根只有或用心爱心专心，　　∴方程无实根，　　∴即　　而当时，恒成立，　　∴的正负情况只取决于的取值情况　　当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+∞)+0

5、—0+极大值极小值　　∴在处取得极大值，在处取得极小值。　　由题意得　　整理得　　　　　　②　　于是将①，②联立，解得　　（2）由（1）知，　　　　点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系。用心爱心专心