2010湖南高考一轮复习专题之导数及其应用

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1、2010湖南高考一轮复习专题导数及其应用醴陵二中张新元2009年11月27日2010湖南高考一轮复习专题之导数及其应用醴陵二中张新元一、本内容在课程标准和考试说明中的要求（老内容研究变化、新内容要求）。导数是高中数学新教材中新增的知识之一，体现了现代数学思想，在硏究函数性质时，有独到之处。定积分是新高考新增内容。而导数和定积分都是微积分的核心概念，它们都有极其丰富的实际背景和广泛的应用。纵观2009年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。明年是我省新教材实施的第一届高考，作为新教材的新增内容，应引起我

2、们足够的重视。复习中要注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。二、本内容近几年各省高考试题中的要求和特点及典型考题。从2009年全国各地的37套试卷中，有47道题（其中大题有37道，小题有10道）是考查导数有关的知识的运用，同时，每道题又综合了函数的单调性、函数的极值（最值）、不等式的求解或证明、求参数的取值范围等知识的综合运用。同时，还可以发现导数知识给合实际应用问题进行工程预算的设置等综合考查学牛的运用导数来解决实际问题的能力。导数还与线性规划知识综合进行考查，有意识地考查学牛知识的灵活运用能力和知识的灵活变通能力。2008年37套试卷中有23道

3、（其中大题21道）考查导数知识运用的试题。2007年的17套试卷中有19道（其中17道大题）考查导数与其它知识的综合运用题。在考查的过程中，我们会发现，这种类型试题有如下一些特点：1、注重考查学生的能力。根据考试大纲要求，综合考查学生的能力，那么针对能力型试题的特点：没有固定的模式，难有现成的方法和套路可以套用，思维水平要求高，不强调解题技巧，无须死记硬背，思维容量大，运算量较小，能有效展示考生的思维水平和创造意识，完成这样的试题需要有能力的培养，依靠“题海”和大运动量的操练是难以奏效的。因此，重在口常教学过程屮，注重培养学生的解决问题的能力，而通过大量的运算量来达

4、到冃的是很难的。2、解决问题的能力要求高，增加了思考量，控制计算量，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行分检、组合、加工，寻找解决问题的方法。3、试题的创新，既体现在情境上，更体现在思维价值水平上。命题立意新、情境新，思维价值高。多年来，一再强调“要从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧”。在坚持这一要求的同时，注意了考查学生思维价值水平的问题。通过对近几年全国各省高考试卷进行分析发现，基于导数的知识考查在试题的结构上有如下特点，供大家参考。（-）考查函数的单调性与导数的综合。综合考查学牛对函数的单调性的运用。英中还与极值、单调区间、解不

5、等式、分类讨论思想等综合考查，以考查学牛的综合运用知识的能力。例1、(2009北京理)设函数/(x)=xe^伙工0)(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;(II)求函数/(兀)的单调区间；(III)若函数/(兀)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围。解:(I)f(x)=(l+fcr)^,/(0)=1,/(O)=0,曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=xo(II)由f(兀)=(1+Ax)0=0,得兀=一丄(£工0)。k若£>0,则当XGf-oo,-ll时，/(x)<0,函数/⑴单调递减，当讨—丄,+oo,］时，/(x)>0

6、,函数/⑴单调递增，若X0,则当xef-oo,-il时，f(x)>0,函数/(x)单调Ik)递增，当xe(-丄,+oo)时，f(x)v0,函数/(兀)单调递减。k(III)由(II)知，若比>0,则当且仅当――—1,即RW1时，函数/(x)(—1,1)内单调递增。若£v0,则当且仅当-->1,即2-1时，函数/⑴在(-1,1)内单调递增。k综上可知，函数/(兀)在(-1,1)内单调递增时，£的取值范围是［-i,o)U(o,i］0注：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查学生综合分析和解决问题的能力。例2、(2009ill东卷文22.)(

7、本小题满分12分)已矢口函数/(兀)=丄处’+b『+x+3,其中aH0。3(1)当满足什么条件吋，/(X)取得极值？(2)已知a>0f且/(x)在区间(0,1］±单调递增，试用a表示出b的取值范围。解：(1)由已知得fx)=ax2+2bx+,令广(无)=0,得农+2加+1=0,/(%)要取得极值,方程ax?+2加+1=0必须有解，所以△=4/?'-4q>0,即b?>a，此吋方程k+2加+1=0的根为:-2b-V4/?2-4a-2b+J4b，-4a-b+J//2qaJ^TWf*(x)=a{x-x{)(x-x2)o当a>0时，X(-°°,Xj)兀］(兀］，兀2)