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时间:2017-11-12
《高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用; 2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义; 4、导数在研究函数单调性上的应用; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 (一)导数 1、导数的概念 (1)导数的定义 (Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x(△x可正可负),则函数y相应地有增量,这两个增量的比,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时,有极限,则说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处的导数(或变化率),记作,即第33页共33页。 (Ⅱ)如果函数在开
2、区间()内每一点都可导,则说在开区间()内可导,此时,对于开区间()内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数,这样在开区间()内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间()内的导函数(简称导数),记作或,即。 认知: (Ⅰ)函数的导数是以x为自变量的函数,而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当时的函数值。 (Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量; ②求平均变化率; ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 (2)导数的几何意义: 函数在点处的导数,是曲线在点处的切线的斜率。 (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续
3、既有联系又有区别: (Ⅰ)若函数在点处可导,则在点处连续; 若函数在开区间()内可导,则在开区间()内连续(可导一定连续)。 事实上,若函数在点处可导,则有此时,第33页共33页 记,则有即在点处连续。 (Ⅱ)若函数在点处连续,但在点处不一定可导(连续不一定可导)。 反例:在点处连续,但在点处无导数。 事实上,在点处的增量 当时, , ; 当时, , 由此可知,不存在,故在点处不可导。 2、求导公式与求导运算法则 (1)基本函数的导数(求导公式) 公式1 常数的导数:(c为常数),即常数的导
4、数等于0。 公式2 幂函数的导数:。 公式3 正弦函数的导数:。 公式4 余弦函数的导数: 公式5 对数函数的导数: (Ⅰ)第33页共33页; (Ⅱ) 公式6 指数函数的导数: (Ⅰ); (Ⅱ)。 (2)可导函数四则运算的求导法则 设为可导函数,则有 法则1 ; 法则2 ; 法则3 。 3、复合函数的导数 (1)复合函数的求导法则 设,复合成以x为自变量的函数,则复合函数对自变量x的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量u对自变量x的导数, 即。 引申:设,复合成函数,则有 (2)认知 (Ⅰ)认知复合函数的复合关系循
5、着“由表及里”的顺序,即从外向内分析:首先由最外层的主体函数结构设出,由第一层中间变量的函数结构设出,由第二层中间变量的函数结构设出,由此一层一层分析,一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条: ; (Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路 ①第33页共33页分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数; ②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求; ③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。
6、 二、导数的应用 1、函数的单调性 (1)导数的符号与函数的单调性: 一般地,设函数在某个区间内可导,则若为增函数;若为减函数;若在某个区间内恒有,则在这一区间上为常函数。 (2)利用导数求函数单调性的步骤 (Ⅰ)确定函数的定义域; (Ⅱ)求导数; (Ⅲ)令,解出相应的x的范围 当时,在相应区间上为增函数;当时在相应区间上为减函数。 (3)强调与认知 (Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式确定的x的取值集合为A,由确定的x的取值范围为B,则应用; (Ⅱ)在某一区间内(或)是函数在这一区间上为
7、增(或减)函数的充分(不必要)条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,它们也可能是增、减区间的分界点。 举例: (1)是R上的可导函数,也是R上的单调函数,但是当x=0时,。 (2)在点x=0处连续,点x=0处不可导,但在(-∞,0)内递减,在(0,+∞)内递增。 2、函数的极值 (1)函数的极值的定义 设函数在点附近有定义,如果对附近的所有点,都有,则
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