高中数学：高考综合复习专题之导数及其应用（二）旧人教版.doc

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1、数学高考综合复习专题之导数及其应用二　3、复合函数的导数　　（1）复合函数的求导法则　　设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，　　即。　　引申：设，复合成函数，则有　　（2）认知　　（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：　　；　　（Ⅱ

2、）运用上述法则求复合函数导数的解题思路　　①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；　　②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；　　③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。　　二、导数的应用　　1、函数的单调性　　（1）导数的符号与函数的单调性：　　一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若用心爱心专心为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数。　　（2）利用导数求函数单调性的步骤　　（Ⅰ）确定函数的定义域；　

3、　（Ⅱ）求导数；　　（Ⅲ）令，解出相应的x的范围　　当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。　　（3）强调与认知　　（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应用；　　（Ⅱ）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。　　举例：　　（1）是

4、R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，。　　（2）在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。　　2、函数的极值　　（1）函数的极值的定义　　设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作用心爱心专心；　　如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。　　极大值与极小值统称极值　　认知：由函数的极值定义可知：　　（Ⅰ）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；　　（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并

5、且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；　　（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。　　（2）函数的极值的判定　　设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是　　（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；　　（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；　　注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。　　（3）探求函数极值的步骤：　　（Ⅰ）求导数；　　（Ⅱ）求方程的实根及不存在的点；　　考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则在这一点取得极大值，若左负右

6、正，则用心爱心专心在这一点取得极小值。　　3、函数的最大值与最小值　　（1）定理　　若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。　　认知：　　（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。　　（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间

7、端点处的函数值。　　（Ⅲ）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。　　（2）探求步骤：　　设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：　　（I）求在内的极值；　　（II）求在定义区间端点处的函数值，；　　（III）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。　　引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：　　（I）求出的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；　　（II）计算并比较用心爱心专心在上

8、述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值