广义Black-Scholes方程的算子级数解-论文.pdf

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1、考试周刊2015#-g44,~t广义Black—Scholes方程的算子级数解丁会敏(六盘水师范学院，贵州六盘水553004)摘要：本文主要研究系数依赖时间和空间的非齐次的广~Black-Scholes程，结合一些引理和推论，将Adomian分解法推广到求解更一般的广KB1ack—Scholes方程的数值解。利用Adomian分解法，我们得到广~Black—Scholes方程的含有算子形式迭代的一般级数解．同时证明该方法时广义Black—Scholes方程同样适用。关键词：广KBlack—Scholes方程Ad

2、omian分解算子迭代级数解期权作为当今世界金融经济的研究热点之一。引起越来帆_k+1(s'f)s，w)s22--礼(s'w)S越多的人的关注。其中期权定价作为期权研究的核心问题，取得的举世瞩目的成果。近年来，随着经济的迅速发展，期权形式日趋复杂．各种定价方法也层出不穷。经典的Black—Scholesr(s，w)~ds，w))dw，期权定价模型将股票价格的期望收益率和波动率都描述为常数，实际上像这样的资产模型在金融市场上很难找到，越来越uk+l【s'f)x(s，w)s2aut(S,w)．~-b(S,w)S--

3、_r(s(s，多的学者认为模型应该是非线性的。波动率和期望收益率应as‘d当描述为时间或者股票价格的一般函数，而笔者研究的就是w))dw，系数依赖于时间和空间的非齐次Black—Scholes方程的数值解NN~N(3)g以表示为：问题。丁会敏、何传江和殷涛利用Adomian分解法给出求解常系数和系数依赖时间的非齐次Black—Scholes方程数值解的方u(S，T)：∑(S，T)+∑~k(s，T】．法，笔者在此基础上利用一些引理及推论。将Adomian分解法k=O‘k=0推广到求解广义Black～Scholes

4、方程的数值解．并得到其迭代形式的算子级数解。证明该方法同样适用于广义Black—Sc．2．广义Black—Scholes方程的算子级数解holes方程的求解问题。这里我们用O表示零算子，用I表示恒等算子，令A(S，T)=a1．模型简介(S，丁)S‘，B(S，丁)=b(S，T)S，主要结果如下所示：笔者将研究变系数的非齐次Black—Scholes方程的终值定理：问题(2)的Ad0mian解可以被表示N~nTN式：问题：u(S，T)=v(A‘P(s))+1oAg(S{『ul+s。t)Sus-rA(s'I)uI(I

5、)其中k∈N。，m=0，1，2,"-,2k，算子v。满足：=s，t)，(s，【)∈[0，s]×[0，T]m=-10((AA2+BA．一r)vkmI+(2AAl+B)vkm-lI+Avm-2)vk，Lu(s，=‘P(s)，S∈[0，S]—k一I其中：t是时间，S是标的资产价格，盯(S，t)是波动率，‘p(S)是这里=(·)dw，v：=I，v，v2k+2，v：，v：=0；A表示对变量s收益函数；b(S，t)=r(S，t)一d(S，t)，r(S，t)~ld(S，【)分别表示利率和红的m阶导数算子。利率。为简单计，假设

6、f(s，t)和(s)存在任意阶的连续导数。证明：由引理，得问题(2)的解可以表示为：令T=T-t。记，Au(S’T)=(S，)+(s，一r)．a(s，下)一仃(S，T_T)，2，b(S，f)=b(S，T一下)，^接下来我们只需证明：r(S，f)=r(S，T—f)，g(S，f)=一f(S，T--r)，那么终值问题(I)化为下列CauchY问题-k(s，)：羔mA‘P(S)，：耋m0Ag(5，)，Iu一a(s，1，sUss-b(S，"0SUs+s，T)u事实上，由：1=g(s，丁)，(s，T)∈[05]×[o，T]

7、(2)(s，T)=．f-。r[a(s，w)SA(s，w)+b(s，w)SAu(s，w)-r(s，w)(S，Lu(S，0)=‘P(s)，S∈[0，S]¨问题(2)的解是存在唯一的[73w1]dw，利用Adomian分解法[4_，问题(2)的解可表示为如下的级可以计算出(S，，r)，L(s，下)，然后由归纳法可得_k+。(s，T)可以数形式：被表示为：u(s，T)：u(S，T)，(3)u¨(S，T)=vm+州s)，其中．其中v是待定的参量。uo(S，'r)=qfS)+J'og(S，w)dw，(4)令Wk+2一。。2

8、u(s，f)：((S，)S2—3"uk(S,)v0=I，2k+l==—一+b(s，w)S—OUk(S,w2一(Sv0l，Vk=Vk=Vk0，，W)Uk(s，0S。0；3则w))dw，k≥O(5)A。'k(S，下)=(A。vkm+km～)A‘P(s)，(下转第119页)引理设_n(s，，r)=‘P(s)(s，f)=g(s，w)dw，55考试周刊2015年第44期1．公司根据自身问题所在，