线性微分方程的微分算子级数解法.pdf

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1、应用数学和力学990806应用数学和力学APPLIEDMATHEMATICSANDMECHANICS1999年　第20卷　第8期　Vol.20　No.8　1999线性微分方程的微分算子级数解法柯红路　谢和熙摘要：　介绍了微分算子级数法及其求解线性常微分方程通解、特解的原理、方法和实例．这个方法和其它解法的差别，在于不借助其它学科知识的启示，直接通过方程中微分算子的运算求出方程的特解或通解．关　键　词：　线性微分方程；　微分算子级数法；　通解；　特解中图分类号：　O175.3　　　文献标识码：　ADifferentiatorSeriesS

2、olutionofLinearDifferentialOrdinaryEquationKeHonglu，　XieHexi(1.AppliedPansystemsInstitute，ChongqingUniversityofArchitectureandEngineering,Chongqing400045,PRChina;2.ChongqingJiaotongInstitute,Chongqing400074,PRChina)Abstract:Inthispaper,theprincipletechiniqueofthedifferen

3、tiatormethod,andsomeexamplesusingthemethodtoobtainthegeneralsolutionandspecialsolutionofthedifferentialequationareintroduced.Theessentialdifferencebetweenthismethodandtheothersisthatbythismethodspecialandgeneralsolutionscanbeobtaineddirectlywiththeoperationsofthedifferen

4、torinthedifferentialequationandwithouttheenlightenmentofotherscientificknowledge.Keywords：linearordinarydifferentialequation;differentiatorseriesmethod;specialsolution;generalsolution1　微分算子、逆算子及其性质1.1　微分算子与逆算子　　设n阶线性常微分方程为a(n)＋a(n－1)＋⋯＋a0y1yn－1y′＋any＝f(x)，　　(1)其中ai∈R(i＝0

5、，1，⋯，n)．令，于是方程(1)简写为P(D)y＝f(x)，　　(2)其中　　P(D)＝an＋an－1＋⋯＋a0D1Dn－1D＋an．　　(3)P(D)称为微分方程(2)关于微分算子元素D的微分算子多项式，令P(D)＝0，　　(4)file:///E

6、/qk/yysxhlx/yysx99/yysx9908/990806.htm（第1／8页）2010-3-2313:59:07应用数学和力学990806称为方程(2)的算子特征方程，简称特征方程，其解称为方程的特征根．　　将记为P－1(D)，称为算子P(D)的逆算子．特别是P(D)＝D时，

7、，这个不定积分不加任意常数．1.2　逆算子的性质［1］　　结论1　若，其根记为λj∈Z(j＝1，2，⋯，n)，则(ⅰ)P(D)＝a0(D－λ1)⋯(D－λn)，　　(5)　　(6)Aj∈Z(j＝1，2，⋯，n)为待定系数(但不必具体求出)．　　在算子特征方程(4)中，视D为变元，由代数基本定理，在复数域Z中关于D的n次方程存在n个根(L重按L个根计)．不妨将这n个根记为λ－1(D)的j∈Z(j＝1，2，⋯，n)，从而可得(5)式．进而有P分解式(6)：其中A－1(D)的部分分式．j∈Z(j＝1，2，⋯，n)是待定系数．(6)式右端称为逆

8、算子P证毕．　　结论2　设则　　(7)　　(8)　　证明　(ⅰ)由假设(b)，因｜D｜＜1，不妨设｜D｜＜｜d｜，显然有｜D｜k＜｜D｜(k＝2，⋯，n)，从而a0、an≠0时有file:///E

9、/qk/yysxhlx/yysx99/yysx9908/990806.htm（第2／8页）2010-3-2313:59:07应用数学和力学990806此式当｜D｜＜｜d｜时，由(b)有即是(7)式成立．证毕．　　(ⅱ)因为今用代替上式中的Z，根据(7)式，逆算子P－1(D)可展成如下的无穷级数：即(8)式成立．证毕．　　特别　　(ⅰ)当P(D

10、)＝D－λ时，　　(7a)file:///E

11、/qk/yysxhlx/yysx99/yysx9908/990806.htm（第3／8页）2010-3-2313:59:07应用数学和力学990806　　(ⅱ)