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《常系数非齐次线性微分方程的算子解法 毕业论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、常系数非齐次线性微分方程的算子解法摘要本文讨论了求常系数非齐次线性微分方程特解的算子解法,结果说明当非齐次项是指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数时,用这种方法可以直接求出一个特解,运算简单.关键词线性微分方程;算子方法;特解DifferentialoperatormethodofinhomogeneouslineardifferentialequationwithconstantcoefficientAbstractThispaperdiscussesthedifferentialoperatormethodfo
2、rspecialsolutionofinhomogeneouslineardifferentialequationwithconstantcoefficient,theresultsshowthatwhentheinhomogeneoustermisexponentialfunction,trigonometricfunction,powerfunctionortheirmixedfunction,thismethodcanbeusedtodirectlyderiveaspecialsolution,simpleop
3、eration.KeywordsLineardifferentialequation;Operatormethod;Specialsolution1引言微分方程在解决实际问题中有着广泛的应用,例如单摆运动、传染病的预防等方面都要用到常微分方程.教材中一般只介绍用待定系数法和常数变易法求解常系数非齐次线性微分方程,然而用上述的两种方法需经大量的运算,甚至涉及到求解线性方程组.基于上述的情况,本文讨论求解线性微分方程的算子解法.2基本概念对于常系数非齐次线性微分方程(1)其中均为常数.令表示对求微商的运算,称它为微分算子
4、;表示对求次微商的运算.于是方程(1)化为(2)记,称为算子多项式.所以(2)的一个解可简单的表示为,称为逆算子.特别地,.3算子多项式3.1性质设是上述定义的算子多项式,都是可导函数,则有如下的结论:1)2)以上两式的证明均可以由简单的积分来完成,从略.10有关其他的性质可根据普通多项式的性质来类似给出,也可参见文献[1,2,3].3.2运算公式设是上述定义的算子多项式,是可导函数,,都是常数,则有如下的结论:1)2)3)4)证明1)2)因为,，所以3)由2)式证明可类似推之.4)根据莱布尼茨公式,有3.3逆算子运
5、算公式设是上述定义的算子多项式,是可导函数,,都是常数,则有如下的结论:101)(3)2)(4)3)(5)4)(6)5)设,则(7)其中是将按的升幂排列后去除1在第步得到的结果.ⅰ)当时,（为重数）(8)ⅱ)当时,不妨设,而.则(9)(10)ⅲ)当时,,此时而则(11)证明以上1)、2)、3)式的推导可参见文献[1].4)=5)用1除以得到的商是次多项式时,余式中的各项最起码是10次的,即1=其中,上式两边同时作用得由于上式中的至少是次的,故.ⅰ)不妨设,而.由(6)可得ⅱ)由于,所以而==故有10同理有ⅲ)显然成立
6、.4题例类型Ⅰ当时,可采用公式(3)或(8)求得(2)式的特解.例1求的特解.解若采用常数变易法,需先求出特征值,写出通解,然后再解方程组得出变易系数,进而得到特解.而用算子法可简单求解如下:由于,.故特解为=.例2求的特解.解,故,从而特解为=类型Ⅱ当时,可以用公式(4)或(9)求得(2)式的特解.例3求的特解.解若用文献[4]中提供的解法,我们需将分开来求解,然后由解的性质可得到原方程的特解.而采用算子解法则可直接求出特解,具体如下:,故特解例4求的特解.解（算子解法）由于,故方程转为解,它的特解为10==故原方
7、程的特解为.(常数变易法)特征方程为,特征根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程的特解为,则有以下方程组解得积分得故特解为.类型Ⅲ当时,可以用公式(5)或(10)求得(2)式的特解.例5求的特解.解不管是采用待定系数法还是用常数变易法都可以求出方程的解,但是求解过程比较复杂,采用算子解法可简解如下==例6求的特解.解（算子解法）10===(待定系数法)特征方程,故特征根为,,所以对应的线性无关解为.由于,故可设特解的形式,带入方程后整理得比较两边的同次项系数有解得,所以特解为.类型Ⅳ当是指数、三角、幂函数的混合函数
8、时,可采用上述恰当的公式求得（2）式的特解.例7求的特解.解若用待定系数法,必须先求出方程的特征根,此外方程是三阶的,计算待定系数比较麻烦,用算子法可简化计算.===例8求的特解.解先考虑方程10===故原方程的特解为.例9求的特解.解先考虑方程的特解故原方程的特解为.例10求的特解.解先考虑方程10故原方程的特解为.以上的例8,例9,例10,
