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《一类高阶线性微分方程的算子解法及其解的稳定性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2010年2月中央民族大学学报(自然科学版)Feb.,2010第19卷第1期JournalofMUC(NaturalSciencesEdition)Vo.l19No.1一类高阶线性微分方程的算子解法及其解的稳定性谷丽(伊犁师范学院数学系,新疆伊犁835000)摘要:本文利用微分算子研究一类高阶线性微分方程的解法及其解的稳定性,推广了文[3]的有关结果.关键词:高阶线性微分方程;微分算子;稳定性中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:10058036(2010)01005403[2~
2、3]用微分算子可研究四阶线性微分方程分解,本文利用这一思想讨论n阶线性微分方程算子的分解.一般的,若有n个函数i(x)(i=1,2n)满足所要求的可微次数并连续,引入记号.nn-(1-1)p1(x)=p1(x)=i(x)i=1n-1n-(2-1)ninip2(x)=p2(x)=i(x)(p1(x)-p1(x))+(p1(x)-p1(x))!i=1n-2n-(3-1)n-1inip3(x)=p3(x)=i(x)(p2(x)-p2(x))+(p2(x)-p2(x))!i=1n-k-1n-(k-1)n
3、-k+2in-k+2ipk(x)=pk(x)=i(x)(pk-1(x)-pk-1(x))+(pk-1(x)-pk-1(x))!i=12n-(n-2)3i3ipn-1(x)=pn-1(x)=i(x)(pn-2(x)-pn-2(x))+(pn-2(x)-pn-2(x))!(1)i=1n-(n-1)2121pn(x)=pn(x)=i(x)(pn-1(x)-pn-1(x))+(pn-1(x)-pn-1(x))!那么,用归纳法容易证明:nn-1n-2D+p1(x)D+p2(x)D++pn-1(x)D+p
4、n(x)=D+1(x)D+2(x)D+n-1(x)D+n(x)(2)记nn-1n-2Fn(D)=D+P1(x)D+P2(x)D++Pn-1(x)D+Pn(x)从而,高阶线性微分方程Fn(D)y=f(x)(f(x)连续)(3)即nn-1n-2D+P1(x)D+P2(x)D++Pn-1(x)D+Pn(x)y=f(x)的通解为:收稿日期:20090427作者简介:谷丽(1958-),女(维吾尔族),新疆伊犁人,新疆伊犁师范学院数学系副教授,研究方向:微分方程.第1期谷丽:一类高阶线
5、性微分方程的算子解法及其解的稳定性55n-1y=e-∀n(x)dxe-∀[i(x)-e+1(x)]dx1(x)dx#e=1∀∀f(x)e∀dxdxn-1n-1-∀[(x)-(x)]dxll+1+Cn#∀+Cn(4)m=1l=medx定理1.如果满足(1)式的n个函数i(x)(i=1,2n)使(2)式成立,且(1)n(x)>0,i(x)-e+1(x)∃0(e=1,2n-1),且1(x)%0,则方程(3)的解是渐近稳定的.(2)n(x)∃0,e(x)-e+1
6、(x)∃0(e=1,2n-1),且1(x)%0,则方程(3)的解是稳定的.(3)n(x)<0或e(x)-e+1(x)>0至少有一个成立,则方程(3)的解不稳定.特别地,在方程(3)中f(x)=0,此时它的通解有公式(5),从而依据定理1易得出它的解的稳定性依据.若令G!(x)i(x)=KiG(x)-(n-i)-F(x)(i=1,2n)(5)G(x)依据公式(1)计算出:p1(x),p2(x)pn(x)从而公式(2)有如下形式的分解式.nn-1n-2D+P1(x)D+P2(x)D++Pn
7、-1(x)D+Pn(x)G!(x)G!(x)=D+K1G(x)-(n-1)-F(x)D+K2G(x)-(n-2)-F(x)G(x)G(x)G!(x)G!(x)D+KiG(x)-(n-i)-F(x)D+Kn-1G(x)--F(x)G(x)G(x)&D+KnG(x)-F(x)从而方程G!(x)G!(x)D+K1G(x)-(n-1)-F(x)D+K2G(x)-(n-2)-F(x)G(x)G(x)G!(x)D+Kn-1G(x)--F(x)D+KnG(x)-F(x)y=f(x)(6)G(x)是可积的,且由
8、公式(4)通解为:n-1-∀KnG(x)-F(x)dx-∀K-K)G(x)-G!(x)dxG!(x)y=eee+1G(x)KG(x)-(n-1)&-F(x)dxe∀f(x)e∀1G(x)dxdxe=1∀n-1n-1+C-(Kl-Kl+1)G(x)-G!(x)dxm#∀e∀G(x)dx+Cnm=1l=mnn-1n-2其中,KI(i=1,2n-1)为方程K-a1K+a2K++an-1K
