11、】(1)命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和
12、PA
13、+
14、PB
15、=2a(a>0,且a为常数);命题乙:点P的轨迹是椭圆,且A,B是焦点,则命题乙是命题甲的()A.充要条件B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件(2)已知F1,F2是定点,
16、F1F2
17、=8,动点M满足
18、MF1
19、+
20、MF2
21、=8,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.线段D.圆解析:(1)若点P的轨迹是椭圆,且A,B是焦点,则一定有
22、PA
23、+
24、PB
25、=2a,所以乙是甲的充分条件;反之,若
26、PA
27、+
28、PB
29、=2a,不能推出点P的轨迹是椭圆,仅当2a>
30、AB
31、时,点P的轨迹才是椭圆.(2)∵
32、MF1
33、
34、+
35、MF2
36、=8=
37、F1F2
38、,∴点M的轨迹是线段F1F2,故选C.答案:(1)B(2)C2.椭圆的标准方程名师点拨对椭圆标准方程的认识(1)标准的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐标轴.(2)标准的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方和,并且分母不相等.(3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆.a,b,c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2.(4)由椭圆的标准方程如何判断其焦点的位置:椭圆的焦点在x轴上⇔在标准方程中,x
39、2项的分母比较大;椭圆的焦点在y轴上⇔在标准方程中,y2项的分母比较大.(2)由已知椭圆的焦点在x轴上,且a2=16,b2=7,∴c2=9,c=3.∴椭圆的焦点坐标为(-3,0)和(3,0).答案:(1)C(2)(-3,0)和(3,0)思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹就是椭圆.()(2)在椭圆的标准方程中,a,b的大小是不确定的.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)√探究一探究二探究三思维辨析【例1】已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足
40、PF1
41、+
42、PF2
43、=2
44、F1F
45、2
46、.(1)求点P的轨迹方程;(2)若∠F1PF2=120°,求△PF1F2的面积.分析(1)利用定义求出方程;(2)由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于
47、PF1
48、,
49、PF2
50、的方程,求出
51、PF1
52、·
53、PF2
54、的值.探究一探究二探究三思维辨析解(1)依题意知
55、F1F2
56、=2,
57、PF1
58、+
59、PF2
60、=2
61、F1F2
62、=4>2=
63、F1F2
64、,∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,(2)设m=
65、PF1
66、,n=
67、PF2
68、,则m+n=2a=4.在△PF1F2中,由余弦定理,得
69、F1F2
70、2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,∴4=(m+n)2-2mn(1+cos120°),解得mn=12.探
71、究一探究二探究三思维辨析反思感悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用,即若
72、MF1
73、+
74、MF2
75、=2a(2a>
76、F1F2
77、),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)在椭圆中,由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目,我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,这就需要我们在解题时,要充分理解题意,分析条件,利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中,经常把
78、PF1
79、·
80、PF2
81、看作一个整体来处理.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1如图所示
82、,已知过椭圆的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.求△AF1B的周长.所以a=5,故有
83、AF1
84、+
85、AF2
86、=2a=10,
87、BF1
88、+
89、BF2
90、=2a=10,
91、AF2
92、+
93、BF2
94、=
95、AB
96、,所以△AF1B的周长为
97、AF1
98、+
99、BF1
100、+
101、AB
102、=
103、AF1
104、+
105、BF1
106、+
107、AF2
108、+
109、BF2
110、=(
111、AF1
112、+
113、AF2
114、)+(
115、BF1
116、+
117、BF2
118、)=2a+2a=20.探究一探究二探究三思维辨析【例2】求适合下列条件的椭圆
