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《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．1.1 椭圆及其标准方程椭圆的定义[提出问题]取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？提示：不是线段，椭圆．[导入新知]椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[化解疑难]定义中的条件2a＞
4、F1F2
5、＞0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来
6、的．否则：(1)当2a＝
7、F1F2
8、时，其轨迹为线段F1F2；(2)当2a＜
9、F1F2
10、时，其轨迹不存在.椭圆的标准方程[提出问题]在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．问题1：若
11、PA
12、＋
13、PB
14、＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：轨迹方程为＋＝1.问题2：若
15、PC
16、＋
17、PD
18、＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：＋＝1.[导入新知]若
19、F1F2
20、＝2c，
21、MF1
22、＋
23、MF2
24、＝2a(a＞c)，则椭圆的标准方程、焦点坐标及a，b，c的关系见下表：焦点在x轴上焦点在y轴上12标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)焦点坐标
25、(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2[化解疑难]1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．3．a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.椭圆标准方程的识别[例1] 当3＜k＜9时，指出方程＋＝1表示的曲线．[解] ∵3＜k＜9，∴9－k＞0，k－3＞0.(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当9－k＝k－3，即k＝6
26、时，方程表示圆x2＋y2＝3；(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．[类题通法]根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上．[活学活用]已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．解析：由题意得m－2＞10－m＞0，解得6＜m＜10.又a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，12解得m＝8.答案：8求椭圆的标准方程[例2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4
27、,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⇒故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.[类题通法]确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断
28、方程的形式；2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－)，；(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．解：(1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得12解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得即a2＝4，b2＝8，则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．将两点(2，－)，代
29、入，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.椭圆的定义及其应用12[例3] 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．[解] 在△PF1F2中，
30、F1F2
31、2＝
32、PF1
