数学奥林匹克高中训练题（127）

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1、2010年第3期39蕊营潞蜃禽鑫啥锄缎蹙(127)中圈分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005-6416(2010)03-0039—07进兔穴．第一试7．直线Z：+Y=t与0D：+y2=20交一于点、日，且

2、s△。仙为整数．则所有满足条件、填空题(每小题8分，共64分)1．已知锐角△ABC的内角平分线AD、的正整数t的个数是中线BM和高CH交于一点P．则CH——8．已知函数：{0，1，⋯，2010}一N．若AH(填“>”“<”或“=”)．对于所有可能的整数，有4x+2)=4x+1)，2．已知实数列{口}定义为5+3)=5x+2)，口口。o：寺虿，川=吉(IGn+去)J(n

3、∈N)‘．7+5)=7x+4)，则，()至多可以取——个不同的值．设An南·则{An}中有——个完二、解答题(共56分)全平方数．9．(16分)设椭圆c：+：1，王U72010．—3．非负实数口l，口2，⋯，0"2010满足∑=1，直线Z：y：+b．若分别从直线z上任两点肘、Ⅳ引椭圆C的两条切线，切点连线分别为则∑Ⅱai+j的最大值为——(8。。+；=吼)．m、凡，则mn。试求点(n，b)的轨迹．10．(20分)如图1，矩形OABC为一张台4．对于正整数n，定义口为n()⋯的球桌面，OA=12，OC=个位数字．则2∑010口=6．从点0击出一个球，n=l其可无限次经台球桌四5．对一个集

4、合，其中的最大元素与最小边反弹运行．已知该球元素之差称为该集合的“容量”．设2≤r≤n，经过矩形OABC的中心图1用F(rt，，)表示集合M={1，2，⋯，rt}的所有D(6．3)．r元子集的容量的算术平均值．则F(n，r)：(1)试求所有整点E(a，b)(1≤口≤11，1≤6≤5)的个数，使得该球可以经过点E；6．一条直线上依次有三点A、B、c．一只(2)若该球在上述D、E两点间的最短路猎犬在点A发现一大两小三只兔子从点B径长为E)，求)的最大值．向兔穴(点c)前行，立即向它们追去．当兔子11．(20分)已知k>20O9+,／2010．发现猎犬追赶后，急忙向兔穴奔跑，大兔为了证明：对

5、任意的正整数m、／7,，有提高速度，可叼着一只小兔奔跑(速度不变，ln,／一2009一ml>1且叼起与放下小兔所眈误的时间不计)．已知．，17、AB=am，BC=6mf6450．则CH>AH．求AP的最大值．

6、2．无限．二、(4O分)设从集合{1，2，⋯，28}中取设口=(p、q∈N+，(p，q)=1)．则出个两两互质的数的取法有()种．求(2)十r(3)+⋯十r，(12)．a-,+l：=三、(50分)甲、乙两人做游戏．甲随机选号虿(I+)J=一—10p—．q．．·①定一个正整数对(，n)(2≤≤36，1≤≤由a0=1得口，=9216)，乙做如下操作：将[0，36]分成段，，．12q，‘[0，36]=u[n—I，“i](口o=0

7、时，P为奇数，q为偶数．于是，若F()≥，则甲胜；若，()<凡，则乙胜．求甲胜的概率．Pn+I=P：n+警—，qn+1=2印pnqn．·四、(5o分)将2010张红卡片和2010张白卡片任意分给2010名参加游戏的玩~ljA．-击=鑫=丢．家，每人两张．所有人面朝里围坐成一圈．游Pn一5戏规则是每次操作要求每名玩家同时履行下述原则：若其至少拥有一张红卡片，他就将一由归纳法知P=1．张红卡片交给他左侧相邻的玩家；若他没有所以，A=q2(≥1)为完全平方数．红卡片，他就将一张自卡片交给他左侧相邻3．1005一嘶的玩家．求使得第一次出现每名玩家手中都．恰有一张红卡片和一张白卡片的操作次数的设

8、A=、∑II，最大值．固定“2，03，⋯，01呲5，nl叫7，⋯，n20l0，则参考答案A=Ba。+c0，其中，、c为非负常数(由第一试上述固定的口决定)．易知，当口。、口晰之一取0时，A最大．同一1．>．、理，口、口I∞5+(i=2，3，⋯，1005)之一取0如图2，由塞瓦定时，A最大．同时，为使A最大，0，。，⋯，0㈨理得中应有连续1005项为正数，则另外1005项ACDBH．一MC。历‘丽’为0．故当口=1005(i=1，2，⋯，1005